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■图2 尖锥面
■图3 方内圆外尖锥合积
■图4 正弦求弧背术（用圆内积）
在《方圆阐幽》中，李善兰取x2=10…8及x2=2×10…8，用“分离无数法”
归纳得出二项平方根展开式
1 …x12212=…
=nxnn！！。 （2n …3）！！
。
￥
（）
（2n …3 ）！！
然后在四分之一个单位圆内应用尖锥术计算以x2n 的系数
（2n ）！！
为底的诸2n 乘尖锥的合积（图3），得
π ！！
· ！！
。
4
1
2 3
2 1 2 1
= …
…
= ＋
￥。
（ ）
（ ） （ ）
n
n n n
从而获得圆周率π的无穷级数值。
在《弧矢启秘》中，李善兰又用方内圆外的“截积”与尖锥合积的关
系（图4）得到“正弦求弧背”即反正弦的幂级数展开式
a = a ＋ a
…
＋
＋
=
￥。
sin
（ ）
（ ） （ ）
sin
2 1
2 1 2
2 1
1
n
n n
n
n
！！
· ！！
。
然后用直除、还原等方法得到其他诸多三角函数和反三角函数的幂级数展
开式
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a
= … ＋ … ＋
= … ＋ … ＋
= ＋ ＋ ＋
= … ＋ … ＋
= ＋ ＋ ＋
= ＋ ＋ ＋ ＋
=
tg tg tg tg
vers vers vers
tg
vers
1
3
1
5
1
7
6
9
46
90
44
105
2
1
12
2
1
90
2
1
3
1
5
1
7
1
3
2
15
17
315
1
1
2
5
24
61
721
1
2
3 5 7
2 2 4 6 8
2 2 3
3 5 2
3 5 7
2 4 6
。，
。，
。，
！ ！ ！
。，
。，
。，
sec sec sec sec
（ ） （ ）
sin
sec
！ ！ ！ ！
a2 a4 a6 a8 。， 1
4
1
6
1
8
… ＋ … ＋
其中正切、正割、反正切、反正割的幂级数展开式是在中国首次独立地得
到的。
在《对数探源》中，李善兰列出了十条命题，从各个方面描述对数合
尖锥曲线的性质。例如命题九：“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，
彼截线与此截线可相为比例。”（图5）即是说，x1y1=x2y2，或xy=c（这
里c=bh 为常量）。然后；根据这些性质得出了对数的幂级数展开式
Ign = Ig（n …1）
μ
·
＋ ，
=
￥。
1
1 k nk
k
■图5 对数合尖锥曲线
式中的μ即李善兰所谓“诸尖锥定积之根”lge，亦即。
1
In10
从以上可以看出，李善兰所创立的尖锥面，是一种处理代数问题的几
何模型。它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所围成。并且在考
虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向的底线和高线。这样的底
线和高线具有平面直角坐标系中的横、纵两个坐标的作用。
而且，这种尖锥面是由乘方数渐增渐迭而得。因此，尖锥曲线是由随
同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李
善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，这实际上就给出了
这些尖锥曲线的代数表示式（以高线为x 轴，底线为y 轴）
平尖锥 y =
hbx（直线），
立尖锥y=
b2x2 （抛物线），
h
三乘尖锥y =
hb3 x3 （立方抛物线），
。。。。。
同样，
对数合尖锥y（h…x）=bh（等轴双曲线）。
若以底线为x 轴，高线为y 轴，则对数合尖锥曲线的方程为xy=bh（图5）。
再则，李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式
h ahn ＋1
n
ò ax dx =
n ＋ 1
0
和逐项积分法则
￥hh￥
nn
。（ ò0
anx dx ） =ò0（。a nx ）dx。
n=1n=1
特别值得一提的是，李善兰建立在尖锥术基础上的对数论独具特色，
受到中外学者的一致赞誉。伟烈亚力说：“李善兰的对数论，使用了具有
独创性的一连串方法，达到了如同圣文森特的J．格雷戈里（Gregory，1638
—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果”，“倘若李善兰生于J．纳
皮尔（Napier，1550—1917）、H．布里格斯（Briggs，1556—1631）之时，
则只此一端即可名闻于世”（A。Wylie，Chineseresearches，1897）。顾
观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认为这
是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰“中土李（善
兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，大声疾呼“以告中土之受欺
而不悟者”（顾观光《算■余稿》）。
在李善兰尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可
以生根、长叶、开花、结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己
特殊的方式走上近代数学的道路。但是，几年之后，即1852 年，李善兰便
接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分学
介绍进中国的翻译工作。从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学发展的洪
流中。
李善兰的另一杰出数学成就是垛积术，见于《则古昔斋算学》中的《垛
积比类》。
在中国数学史上，北宋沈括（1031—1095）首创隙积术开垛积研究之
先河。元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积
问题，分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为
（ ） （ ）
r p
p
n p
p r
n ＋ …
=
＋
＋ = 。
1
1 1
和
r
r p
p
p n
p
n p
p r
n
（ ）
（ ）
（ ）
＋ …
=
＋
＋
＋
＋ = 。
1 1
2 1 1
，
其中
（ ）
（ ）
m
n
m
m n n
=
…
！
！ ！
。
清陈世仁（1676—1722）、汪莱（1768—1813）、董■诚（1791—1823）
等人继续研究，有所成就。李善兰集前人之大成，发扬创新，撰《垛积比
类》，“所述有表、有图、有法，分条别派，详细言之”，自成体系，别
立一帜。除三角垛和三角变垛包含了朱世杰落一形和岚峰形两类垛积外，
又创造了三角自乘垛和乘方垛两类新的垛积，其求和公式分别为
和
，
其中“李氏数”可作如下归纳定义：
，
并有性质
。
三角自乘垛的中心，是被称做“李善兰恒等式”的组合公式
（ ） （ ） （ ）
（ ）
（ ） （ ）
（ ）！
（ ） （ ） （
r p
p
p
q
n p q
p
r L
n k
m
L k L m k L
L m
n p
p
p
q
n
q
p
r
n
m
k
m
k
m
r
n
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
q
p
＋ …
=
＋ …
＋
=
＋
＋
= ＋ ＋ … ＋
= ＋
＋
=
＋
= =
…
=
…
=
…
… …
=
=
。 。
。 。
。
。
1 2
2 1
1
1 1
1
2
2 2
1 0
1
0
1
1
1
1
1
0
2 2
0
p q
p
…
2
）。
该式驰名中外，自20 世纪30 年代以来不断引起数学界的广泛兴趣。我国
数学家章用（1911—1939）、华罗庚（1910—1985）和匈牙利数学家图兰·帕
尔（Turan Bal）等人都研究和证明过它。乘方垛积计算问题相当于求自然
数的幂和公式，这在数学史上是一个古老的题目，同时又是通向微积分学
最基本和最普遍的公式——幂函数的定积分公式的阶梯。李善兰把m…1 乘
方垛积分解成m 类共m！个三角m 变垛或者说是m 类m！个组合数之和，从
而得出了自然数的m 次幂和公式。更进一步，李善兰以m…1 乘方垛积迭成
底为b、高为h 的m 乘尖锥，先有
V b
r
n
h
n
bh
n
L
n k
m
bh
m
L
i k
n
m
m
r
n
k
m
k
m
k
m
i
m
k
m
垛
！
。
= =
＋
＋
=
＋
＋
…
＋
=
…
=
…
…
= =
…
。 。
。 。
（ ） （ ）
（ ）
（ ）
1
1
1
0
1
1
0 1
1
1
1
1
然后取极限，即得m 乘尖锥积为
V = lim V =
bh
n m ＋1）
锥垛
！
。
。￥
…
=
…。
=
＋
L
bh
m k
m
k
m
1
0
1
1
这就是著名的尖锥求积术公式，它的确渊源于中国传统数学中的垛积术和
极限方法。
李善兰的第三项重要数学成就是他在1872 年发表的《考数根法》，这
是我国素数论上最早的一篇论文。所谓数根，就是素数。考数根法，就是
判别一个自然数是否为素数的方法。李善兰说，“任取一数，欲辨是数根
否，古无法焉”，他“精思既久，得考之法四”，即“屡乘求一”法、“天
元求一”法、“小数回环”法和“准根分级”法，用以对已给的数N，找
出最小的指数d，使ad…1 能被N 整除，这里a 是与N 互素的任何自然数。
李善兰证明了著名的费马素数定理（PFermat，1640），并且指出它的逆定
理不真。亦即，若ad…1 能被N 整除，而N 是素数，则N…1 能被d 整除；但
d 能除尽N…1，未必N 一定是素数。李善兰还进一步指出，若N 非素数而d
也能整除N…1，则N 的因数必具kp＋1 的形式，内P 为能除尽d 的数，k 为
自然数。只有任何具有kp＋1 形式的数都不能除尽N 时，N 才肯定是素数。
除了上述尖锥术、垛积术和素数论以外，李善兰在其所著《麟德术解》、
《测圆海镜解》、《四元解》和《椭圆正术解》中分别解释唐李淳风（公
元602—670 年）“麟德历”中的二次差内插法，金李冶（1192—1279）《测
圆海镜》中的“天元术”，元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程组消元解
法和清徐有壬《椭圆正术》中行星椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算
法。对于后者，李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解