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奋好学，于所读之诗书，过目即能成诵。
9 岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著——《九
章算术》，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学。
14 岁时，李善兰又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前六卷，这是
明末徐光启（1562—1633）、利玛窦（M．Ricci，1522—1610）合译的古
希腊数学名著。欧氏几何严密的逻辑体系，清晰的数学推理，与偏重实用
解法和计算技巧的中国古代传统数学思路迥异，自有它的特色和长处。李
善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新思想，这使他
的数学造诣日趋精深。
几年后，作为州县的生员，李善兰到省府杭州参加乡试。因为他“于
辞章训诂之学，虽皆涉猎，然好之总不及算学，故于算学用心极深”（李
善兰《则古昔斋算学》自序），结果八股文章做得不好，落第。但他却毫
不介意，而是利用在杭州的机会，留意搜寻各种数学书籍，买回了李冶的
《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》，仔细研读，使他的数学水平有了
更大提高。
海盐人吴兆圻《读畴人书有感示李壬叔》诗中说：“众流汇一壑，雅
志说算术。中西有派别，圆径穷密率。”“三统探汉法，余者难具悉。余
方好兹学，心志穷专一。”许■祥《硖川诗续钞》注曰：“秋塍（吴兆圻）
承思亭先生家学，于夕桀、重差之术尤精。同里李壬叔善兰师事之。”看
来，李善兰曾拜吴兆圻为师，学习过数学。
李善兰在故里与蒋仁荣、崔德华等亲朋好友组织“鸳湖吟社”，常游
“东山别墅”，分韵唱和，其时曾利用相似勾股形对应边成比例的原理测
算过东山的高度。他的经学老师陈奂在《师友渊源记》中说他“孰习九数
之术，常立表线，用长短式依节候以测日景，便易稽考”。余■在《白■
■诗话》中说他“夜尝露坐山顶，以测象纬躔次”。至今李善兰的家乡还
流传着他在新婚之夜探头于阁楼窗外观测星宿的故事。
1840 年，鸦片战争爆发。帝国主义列强入侵中国的现实激发了李善兰
科学救国的思想。他说：“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。
推原其故，制器精也，推原制器之精，算学明也。”“异日（中国）人人
习算，制器日精，以威海外各国，令震摄，奉朝贡。”（李善兰《重学》
序）从此他在家乡刻苦从事数学研究工作。
1845 年前后，李善兰在嘉兴陆费家设馆授徒，得以与江浙一带的学者
（主要是数学家）顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰
桢（1813—1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善
兰有关于“尖锥术”的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》
等问世。其后，又撰《四元解》、《麟德术解》等。
1851 年，李善兰与著名数学家戴煦（1805—1860）相识。戴煦于1852
年称：“去岁获交海昌壬叔李君，。。缘出予未竟残稿请正，而壬叔颇赏
予余弧与切割二线互求之术，再四促成，今岁又寄扎询及，遂谢绝繁冗，
扃户抄录，阅月乃竟。嗟乎！友朋之助，曷可少哉？”（戴煦《外切密率》
自序）李善兰与友人在学术上相互切磋，取长补短，他与数学家罗士琳（1774
—1853）、徐有壬（1800—1860）也“邮递问难，常朝覆而夕又至”（崔
敬昌《李壬叔征君传》）。
1852 年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国
传教士展阅，受到伟烈亚力（A．Wylie，1815—1887）等人的赞赏，从此
开始了他与外国人合作翻译西方科学著作的生涯。
李善兰与伟烈亚力翻译的第一部书，是欧几里得《几何原本》后九卷。
在译《几何原本》的同时，他又与艾约瑟（J．Edkins，1823—1905）合译
了《重学》20 卷。其后，还与伟烈亚力合译了《谈天》18 卷、《代数学》
13 卷、《代微积拾级》18 卷，与韦廉臣（A William…son，1829—1890）
合译了《植物学》8 卷。以上几种书均于1857 至1859 年间由上海墨海书
馆刊行。此外，他还与伟烈亚力、傅兰雅（J．Fryer）合译过《奈端数理》
（即牛顿《自然哲学的数学原理》），可惜没有译完，未能刊行。
1860 年，李善兰在江苏巡抚徐有壬幕下作幕宾。太平军占领苏州后，
他留在那儿的行箧，包括各种著作手稿，散失以尽。从此他“绝意时事”，
避乱上海，埋头从事数学研究，重新著书立说。其间，他与数学家吴嘉善、
刘彝程等人都有过学术上的交往。
1861 年秋，洋务派首领、两江总督曾国藩（1811—1872）在安徽筹建
安庆军械所，并邀著名化学家徐寿（1811—1884）、数学家华蘅芳（1833
—1902）入幕。李善兰也于1862 年被“聘入戎幄，兼主书局”。他一到安
庆，就拿出“印行无几而板毁”于战火的《几何原本》等数学书籍请求曾
国藩重印刊行，并推荐张文虎、张斯桂等人入幕。他们同住一处，经常进
行学术讨论，积极参与洋务新政中有关科学技术方面的活动。
1864 年夏，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰等也跟
着到了南京。他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到曾国
藩的支持和资助，于是有1865 年金陵刊本《几何原本》15 卷和1867 年金
陵刊本《则古昔斋算学》24 卷问世。与此同时（1866），在南京开办金陵
机器局的李鸿章（1823—1901）也资助李善兰重刻《重学》20 卷并附《圆
锥曲线说》3 卷出版。
1866 年，在北京的京师同文馆内添设了天文算学馆，广东巡抚郭嵩焘
（1817—1891）上疏举荐李善兰为天文算学总教习，但李善兰忙于在南京
出书，到1868 年才北上就任。从此他完全转向于数学教育和研究工作，直
至1882 年去世。其间所教授的学生“先后约百余人。口讲指画，十余年如
一日。诸生以学有成效，或官外省，或使重洋”（崔敬昌《李壬叔征君传》），
知名者有席淦、贵荣、熊方柏、陈寿田、胡玉麟、李逢春等。晚年，获得
意门生江槐庭、蔡锡勇二人，即致函华蘅芳，称“近日之事可喜者，无过
于此，急欲告之阁下也”。这些人在传播近代科学特别是数学知识方面都
起过重要作用。
李善兰到同文馆后，第二年（1869）即被“钦赐中书科中书”（从七
品卿衔），1871 年加内阁侍读衔，1874 年升户部主事，加六品卿员外衔，
1876 年升员外郎（五品卿衔），1879 年加四品卿衔，1882 年授三品卿衔
户部正郎、广东司行走、总理各国事务衙门章京。一时间，京师各“名公
钜卿，皆折节与之交，声誉益噪”（蒋学坚《怀亭诗话》）。但他依然孜
孜不倦从事同文馆教学工作，并埋头进行学术著述，1872 年发表《考数根
法》，1877 年演算《代数难题》，1882 年去世前几个月，“犹手著《级数
勾股》二卷，老而勤学如此”（崔敬昌《李壬叔征君传》）。
李善兰在数学方面的研究成果主要见于其所著《则古昔斋算学》13 种
24 卷和题为“《则古昔斋算学》十四”的《考数根法》。1867 年刊行的《则
古昔斋算学》收录他20 多年来的各种天算著作，计有《方圆阐幽》1 卷
（1845）、《弧矢启秘》2 卷（1845）、《对数探源》2 卷（1845）、《垛
积比类》4 卷、《四元解》2 卷（1845）、《麟德术解》3 卷（1848）、《椭
圆正术解》2 卷、《椭圆新术》1 卷、《椭圆拾遗》3 卷、《火器真诀》1
卷（1858）、《对数尖锥变法释》1 卷、《级数回求》1 卷、《天算或问》
1 卷。《考数根法》则发表于1872 年的《中西闻见录》第二、三、四号上。
李善兰的其他数学著述还有《测圆海镜解》、《测圆海镜图表》、《九容
图表》、《粟布演草》、《同文馆算学课艺》和《同文馆珠算金■》等多
种。
李善兰的数学成就主要有尖锥术、垛积术、素数论三个方面。
19 世纪40 年代，在近代数学尚未自西方传入中国的条件下，李善兰
异军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，从中国传统数学中垛积术和
极限方法的基础上出发，大胆创新，发明尖锥术，具有解析几何的启蒙思
想，得出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开式，各
种三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19
世纪中国数学界最重大的成就。李善兰认为：
“元数起于丝发而递增之而迭之则成平尖锥；
“平方数起于丝发而渐增之而迭之则成立尖锥；
“立方数起于丝发而渐增之变为面而迭之则成三乘尖锥；
“三乘方数起于丝发而渐增之变为面而迭之成三乘尖锥，。。
“从此递推可至无穷。然则多一乘之尖锥皆少一乘方渐增渐迭而成
也。”（李善兰《方圆阐幽》，以下引文同此）
因此，“诸乘方皆有尖锥”，“三乘以上尖锥之底皆方，惟上四面不
作平体，而成凹形。乘愈多，则凹愈甚”（图1）。
■图1 尖锥体
“尖锥之算法”，乃是“以高乘底为实，本乘方数加1 为法，除之得
尖锥积”。
又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”，“诸尖锥既为平面，则
可变为一尖锥”。
这样，对于一切自然数n，乘方数xn都可用线段长表示，它们可以积
迭成n 乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线
组成。乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图2）。
■图2 尖锥面
■图3 方内圆外尖锥合积
■图4 正弦求弧背术（用圆内积）
在《方圆阐幽》中，李善兰取x2=10…8