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除了（4）式与沈括隙积术公式相同外，其他公式均为杨辉独立推出。
2．捷算法与素数
杨辉致力于捷算法的研究，并取得一些成就。例如，《算法通变本末》
中记载着一种叫“重乘”的算法，即把乘数分解为若干因数之积的形式，
然后用因数去乘。杨辉说：“乘位繁者，约为二段，作二次乘之，庶几位
简而易乘，自可无误也。”例如38367×23121，杨辉便把23121 分解为9×7×367，然后再乘38367。
由于捷算法的需要，杨辉注意到一个整数是合数还是素数的问题。他
说：“置价钱（即23121 文）为法，约之。先以九约，又以七约，乃见三百
六十七，更不可约也。”所谓不可约，就是说除了1 和本身外没有其他约
数。显然，杨辉的“不可约”之数即素数。他在这里首次提出素数概念，
又在《法算取用本末》中列出了从201 到300 的素数表，共16 个：
211，223，227，229，233，239，241，251，
257，263，269，271，277，281，283，293。
这实际是201 到300 的全部素数。虽然杨辉对素数的研究远在欧几里
得之后，理论上也不够完整，但他在没有外来影响的情况下注意到这一重
要问题，其思想之深刻是值得称道的。
“求一乘”和“求一除”也是捷算法，是用加减代乘除，通过折、倍
等方法来实现的，“求一”就是变首位为1 的意思。例如237×56，先倍
56，得112，再折237，即
237
= 118。5 ，然后用112乘118。5。
2
在运算方面，杨辉特别重视乘法，他说：“夫习算者，以乘法为主。”
（《详解九章算法》）认为“乘除者，本勾深致远之法”，“因法不独能乘，
而亦能除”（《算法通变本末》）。例如
2746÷25=27。46×4=109。84，
这种以乘代除的方法不仅施于精确计算，也用于近似计算。例如
2746÷1111＝0。2746×9=2。4714。
《田亩比类乘除捷法》中的一些题列出了不同的方法，这些方法有繁
有简，杨辉的意图就在于比较优劣，提倡捷法。
3．纵横图
纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方。一般是n 行n 列，各行
各列的数字之和相等，纵横图有几行，就称为几阶。我国最早的纵横图，
当推汉代“九宫图”（图1）。宋代理学家们把它与《周易》中的“河出图，
洛出书，圣人则之”联系起来，认为九宫图即天生的神物——洛书，是伏
羲画八卦的依据，从而为这些有规律的数字蒙上了一层神秘色彩。
就在这种数字神秘主义气氛笼罩社会的时候，杨辉却在孜孜不倦地探
索纵横图的构成规律。他以自己的研究成果，否定了纵横图的神秘性。《续
古摘奇算法》上卷的大量纵横图表明，这种图形是有规律可循的。
杨辉首先给出三阶和四阶纵横图的构造方法：“易换术曰，以十六子
依次第作四行排列，先以外四角对换。。后以内四角对换。”这便是构造
四阶纵横图的一种方法（图2）。在“总术”中，杨辉给出构造四阶纵横图
的一般方法。第一步是“求积”，即求出每行或每列的数字之和应为多少。
杨辉把前16 个自然数当作一个等■图1
差数列，用求和公式
n a 1 ＋ an
（）
S =
2
求得S=136，进而求得每行之数34。第二步是“求等”，即设法使每行、
每列的数字之和等于34。“求等术曰：以子数分两行
一二三四五六七八
九十十一十二十三十四十五十六
而二子皆等（十七），又分为四行，而横行先等（三十四），乃不易之数。却
以此编排直行之数，使皆如元求一行之积（三十四）而止”。依此术，杨辉
构造数字方阵如图3，然后再“编排直行之数”。杨辉说：“绳墨既定，
则不患数之不及也。”意思是掌握了规律，就不难作出纵横图。
12 5 16 1
11 6 15 2
10 7 14 3
9 8 13 4
图3
1 20 21 40 41 60 61 80 81 100
99 82 79 62 59 42 39 22 19 2
3 18 23 38 43 58 63 78 83 98
97 84 77 64 57 44 37 24 17 4
5 16 25 36 45 56 65 76 85 96
95 86 75 66 55 46 35 26 15 6
14 7 34 27 54 47 74 67 94 87
88 93 68 73 48 53 28 33 8 13
12 9 32 29 52 49 72 69 92 89
91 90 71 70 51 50 31 30 11 10
图4 百子图
四阶以上纵横图，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、
六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成
规律。他的十阶纵横图叫百子图（图4），各行各列的数字之和均为505。
杨辉的纵横图对后世深有影响，明代程大位、清代方中通、张潮、保
其寿等，都曾在此基础上进一步研究纵横图。
4．杨辉定理
在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中，杨辉讨论了勾股容方问
题，并在后书中提出一条重要的面积定理：“直田之长名股，其阔名勾，
于两隅角斜界一线，其名弦。弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股
路如下：因为
△ABC=△CDA
（指面积相等，下同），
又因为
△AIE=△EHA，
△EFC=△CGE，
所以
△ABC…△AIE…△EFC
=△CDA…△EHA…△CGE，
此定理反映了我国传统几何的
一条重要原理——出入相补。实际上，△AIE 可以移置△EHA 处，△EFC
也可以移置△CGE 处，所以等积。类似的思想在刘徽《海岛算经》及赵爽
“日高术”中已反映出来。但首次以文字形式明确给出这一定理的是杨辉，
因此可称之为杨辉定理，它在平面几何中有广泛的应用。实际上，《海岛
算经》中的各种测量公式都可由杨辉定理推出。
■图5
5．因法推类
在《详解九章算法》的《纂类》中，杨辉提出“因法推类”的原则。
正如郁松年所说，《纂类》以“算法为纲”，“以类相从”。这种思想与
《九章算术》相比是一个进步，因为《九章算术》的分类标准并不一致，
有的按用途分，有的按算法分。杨辉则突破了原书的分类格局，按算法的
不同，将书中所有题目分为乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不
足、方程、勾股九类。每一大类中，由总的算法演绎出不同的具体方法，
并给出相应的习题。例如，“方程”类便依次给出方程、损益、分子、正
负四法，“方程法曰：所求率互乘邻行，以少减多，再求减损，钱为实，
物为法，实如法而一。”这是解线性方程组的基本方法。此法后的11 题全
是基本类型，可直接列出最简方程组。“损益”指的是移项及合并同类项，
分子术指去分母的方法，正负术指方程变换时所用的正负数运算法则，各
法后分别列有相应的具体题目。这种作法体现了由干生枝的演绎思想，方
程法是干，损益、分子、正负三法是枝。再如“勾股类”，共设38 问，分
别置于21 种方法之后，而第一种方法——勾股求弦法（即“勾股各自乘，
并而开方除之”）是后面各法的基础。这种顺序也体现了演绎思想。
6．数学教育和普及工作
杨辉十分重视数学普及工作，他的数学书一般都是由浅入深的。《详
解九章算法》便是为普及《九章算术》中的数学知识而作。他从原书246
题中选择了80 道有代表性的题目，进行详解。由于初学者感到《九章算术》
“题问颇隐，法理难明，不得其门而入”，杨辉便“恐问隐而添题解，见
法隐而续释注，刊大小字以明法草，僭比类题以通俗务，凡题法解白不明
者别图而验之。”题解即提示算法要点或解释数学名词；比类是原有方法
的类推；例如“商功”章，在圆亭（圆台）解法之后便给出一道圆窖题：“圆
窖上周三丈，下周二丈，深一丈，问积。”书中的图形很多，不仅有数学
图，还有写生图，如“勾股章”的葭出水图、圆材埋壁图、方邑图等，都
很精美，为《详解》增色不少。这些图在帮助读者理解题意的同时，也有
利于引起读者兴趣。
为普及日常所用的数学知识，杨辉专门写了《日用算法》一书，并提
出“用法必载源流”和“命题须责实有”两条原则。书中的题目全部取自
社会生活，多为简单的商业问题，也有土地丈量、建筑和手工业问题。这
种应用数学是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益的。杨辉还在该书
的序言中提到“编诗括十三首”，这些诗歌显然是为读者自学数学而编的，
可惜都已失传。但在《乘除通变算宝》中存有“求一乘”和“求一除”诗
各一首，前者为五六七八九，倍之数不走，
二三须当半，遇四两折扭。
倍折本从法，实即反其有，
用加以代乘，斯数足可守。
这种诗歌简炼生动，朗朗上口，便于读者记诵。另外，杨辉书中还有许多
乘除法歌诀，也是有助于读者熟记有关算法的。
杨辉不仅总结了当时的各种数学知识，还批评了以往数学著作中的一
些错误，这种作法在杨辉以前的算书中很少见。例如，他在《田亩比类乘
除捷法》一书中便批评了《五曹算经》中的三个错误，一是在田亩计算中
用方五斜七之法（即把正方形边长与对角线之比取作5：7），二是题问概念
不清，三是四不等田求法之误。
在数学教育方面，杨辉总结了自己多年的经验，写了一份相当完整的
教学计划——“习算纲目”（《算法通变本末》），具体给出各部分知识的
学习方法、时间及参考书。他主张循序渐进，精讲多练，特别强调要明算
理，要“讨论用法之源”。例如，他讲减法时不只讲算法，而且指明：“加
法乃生数也，减法乃去数也，有加则有减。凡学减，必以加法题考之，庶
知其源。”针对教师和学生两种不同的对象，杨辉又提出“法将题问”和
“随题用法”两�