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岳麓书社，1983。
＇19＇Ho Peng…Yoke： Ch'in Chiu…shao；见Dictionary of scientificbiography Vol。III； Charles Scribner′s Sons； New York；1971。
＇20＇U。Libbrecht：Chinesemathematicsinthethirteenthcentury；MIT
1973。
赛典赤·赡思丁
程鹏举
赛典赤·赡思丁（Sayid Edjel Samsudin）一名乌马儿。金大安三
年（1211 年）生于西域布哈拉（Bohhara，今乌兹别克中亚布哈
拉）；元至元十六年（1279 年）卒于昆明。水利工程。
赛典赤一作赛典只儿或赛典只，回族人＇一说阿滥谧（Arya…mithan，布
哈拉王都）人＇，按回族习惯，他的全名应为赛典赤·赡思丁·乌马儿。他
是别庵伯尔（伊斯兰教教主穆罕默德的尊称）的三十一世孙，赛典赤意为“圣
裔的贤者”，赡思丁意为“宗教的太阳”，乌马儿意为长寿。
赛典赤父名苦鲁马丁，是一个小部族的首领。成吉思汗西征时，赛典
赤率千余骑归顺，被成吉思汗收为宿卫，随同东返。太宗窝阔台即位（1229）
后，任命赛典赤为丰、净、云内（今内蒙古呼和浩特至四子王旗一带）三州
都达鲁花赤。不久又改任太原、平阳二路达鲁花赤。大约在1248 年左右改
任燕京路断事官。1251 年宪宗即位，赛典赤受命行燕京等处尚书六部事，
升为燕京路总管。多行惠政，再迁采访使。中统元年（1260）忽必烈即位，
设十路宣抚司，赛典赤任燕京路宣抚使。次年，拜中书省平章政事。至元
元年（1264），出任新设的陕西五路西蜀四川行中书省平章政事。到任3 年，
政绩显著。忽必烈赐银5000 两，并令该行省大小官员悉听赛典赤节制。至
元七年，改任军前行尚书省事，镇四川。至元十年（旧说在十一年），受命
为云南平章政事，直到至元十六年卒。
赛典赤的主要政绩，都发生在云南期间，他对云南的社会经济发展做
出了很大的贡献。至元八年二月，忽必烈第五子云南王忽哥赤被暗害，云
南形势动荡不安。至元十年闰六月，忽必烈召见赛典赤，对赛典赤说：云
南是我亲自率军平定的，以前因为用人不当，局势不稳。现在我打算选一
位稳重仁厚的官员去安抚，看来只有你最合适了。赛典赤退朝后，即四处
拜访熟悉云南地理者，将山川、城寨、驿传、军屯及道路等情况绘制成图，
呈进忽必烈。忽必烈大喜，当即任命赛典赤为云南行省平章政事。第二年
七月，赛典赤抵达当时云南的中心城市大理。他到任后，先建立各级政权
机构，下令原有的千户、万户等武职官员一律不得过问民政，分设路、府、
州、县各级政权及各级军事机构，进而清查户口和田亩，定立田赋额。又
大建孔子庙，设立州学、县学数十处，提倡儒学。这些措施有效地促进了
云南地区的全面发展。
赛典赤在科技方面的成就，体现在滇池水利的全面规划和开发中。滇
池位于昆明南面，号称方圆500 余里，是四周群山之水会聚之地。滨湖多
农田，但由于惟一的出水口——海口常因淤积而狭窄，下泄不畅，夏秋多
雨时，常常发生滇池水位急剧上升，淹没滨湖农田的情况。甚至曾造成上
游盘龙江水受滇池水顶托无法下泄，漫过昆明城墙的灾害。元代以前300
多年中，南诏和段氏大理国经常都设有专门机构管理滇池水利。但在大理
国后期，对东南各地基本上失去控制，昆明（当时叫鄯阐）城的重要性降低，
滇池水利无人管理，连年成灾。赛典赤决心对滇池进行大规模整治，一方
面疏通出水通道，一方面整治盘龙江河道，恢复两岸因江水泛滥而废弃的
大片农田。
他经过周密的调查规划，决定将工程分为上下两段进行。上段包括修
筑盘龙江上的松花坝及疏浚固堤工程，从坝旁分出一条支河叫金汁河。这
样就使上游来水分为两支入滇池，可削减水势。同时还可以扩大灌溉范围，
一举两得。下段则主要是疏通海口上下的水道。赛典赤把久在云南的大理
等处巡行劝农使张立道调到昆明，让他负责下段工程。自己负责上段。
滇池上游的盘龙江河道，因为年久失修，沙泥堆积，堤防堕坏，河失
主槽。赛典赤首先组织疏浚河床并加筑堤岸，然后修渠将昆明东北邵甸一
带泉水引入盘龙江。这样既可以恢复因泉水无去路而淹没的土地，又可以
引水用以灌溉。接着兴建了松花坝。松花坝位于昆明城东约9 里处，它将
部分盘龙江水分入东岸长70 多里的金汁河。两河可灌溉农田号称万顷。
在海口地区，张立道率2000 多民夫，疏浚了石龙坝到龙王庙的河道，
挖开海口河中的鸡心、螺壳等几个险滩，疏通了湖水去路，涸出良田万余
顷。到1278 年，滇池工程完工，滇池水利面貌一新。
明清两代，将松花坝由土坝改建为石坝，又增开滇池水系的银汁、宝
象、马料、海源河，形成灌排体系，通称为昆明六河水利。
赛典赤在云南兴水利，办教育，进行行政改革，极大地促进了云南社
会、经济、文化的发展。大约在至元二十四年（1287），马可·波罗来到昆
明（当时叫押赤）。他描述说：（昆明）城市很大而又繁华，城里有许多商人
和手艺人；有很多小麦和米；有一个大湖（滇池），出产世界上最好的鱼，
数量极多，种类也多。反映出赛典赤多年经营的成果。赛典赤去世后，忽
必烈追念赛典赤的贡献，封他为咸阳王，并谕令云南官员一切要按赛典赤
成规，不得擅改。
时至今日，关于咸阳王的传说仍在云南广泛流传，赛典赤的功绩得到
了历史公正的评价。
文献
原始文献
＇1＇屠寄：蒙兀儿史记·赛典赤赡思丁传，北京市中国书店，1984。
＇2＇（明）宋濂等：元史·赛典赤赡思丁传、张立道传，《二十五史》本，
上海古籍出版社，1986。
研究文献
＇3＇柯劭■：新元史·赛典赤赡思丁传、张立道传，《二十五史》本，
开明书店，1935。
＇4＇冯承钧译：马可·波罗行纪，商务印书馆，1935。
＇5＇方国瑜：云南史料目录概说，中华书局，1984。
＇6＇洪源：赛典赤，中华书局，1962。
杨辉
孔国平
杨辉字谦光。南宋钱塘（今杭州）人。生卒年不详，生活于13世
纪。数学。
杨辉曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州（今浙江临海）、苏州等地。
与他同时代的陈几先称赞他“以廉饬己，以儒饰吏”。杨辉特别注意社会
上有关数学的问题，多年从事数学研究和教学工作，是东南一带有名的数
学家和数学教育家。他走到哪里都有人请教数学问题。从1261 年到1275
年的15 年中，他先后完成数学著作5 种21 卷，即《详解九章算法》12 卷
（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通变本末》3 卷（1274），《田亩
比类乘除捷法》2 卷（1275）和《续古摘奇算法》2 卷（1275）（其中《详解》
和《日用算法》已非完书）。后三种合称为《杨辉算法》。
关于这五部书的编著过程，杨辉写道：“《九章》为算经之首，辉所
以尊尚此书，留意详解。或者有云：无启蒙之术，初学病之，又以乘除加
减为法，秤斗尺田为问，目之曰《日用算法》，而学者粗知加减归倍之法，
而不知变通之用，遂易代乘代除之术，增续新条，目之曰《乘除通变本末》，
及见中山刘先生益撰《议古根源》，演段锁积，有超古入神之妙，其可不
为发扬，以俾后学，遂集为《田亩算法》。通前共刊四集，自谓斯愿满矣。
一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文，求成为集，愿
助工板刊行。遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集，目之曰
《续古摘奇算法》。”（《续古摘奇算法》序）
以上《乘除通变本末》3 卷，上卷叫《算法通变本末》，中卷叫《乘
除通变算宝》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是与史仲荣合撰的。杨辉
数学著作的特点是深入浅出、图文并茂，很适于教学，而且有不少创新。
另外，杨辉的书中还记录了一些古代有价值的数学成果，如贾宪的增乘开
方法和开方作法本源图载于《详解九章算法》的《纂类》，刘益的正负开
方术载于《田亩比类乘除捷法》。杨辉自己的成就，主要表现在以下各方
面。
1．垛积术
杨辉的垛积术，是在沈括隙积术的基础上发展起来的，置于《详解九
章算法》的商功章。他研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体
积公式导出相应的垛积术公式。例如方亭（正四棱台）体积为
h2 2
V = （a ＋ b ＋ ab）
3
其中a 为上底边长，b 为下底边长。
若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a 个球组
成，以下各层的长、宽依次各增加1 个球，共有n 层，最下层（即下底）由
b×b 个球组成，杨辉给出求方垛中物体总个数的公式如下：
n22 b …a
S = （a ＋ b ＋ ab ＋ ）
32
比较一下上面两式就会发现，后者与前者的区别在于小括号内多了一项
b …
2a
，故杨辉把这项以外的式子称为“本法”。后者实际是一个二阶等
差级数求和公式，即
2 222
a ＋（a＋1） 2 ＋（a＋2） ＋ 。 ＋（b…1）2＋b =
n（a ＋b 2＋ab＋
b…1）（1）
32
杨辉垛积术中属于级数求和的共有四个，其余三个是
n1
12 ＋ 22 ＋ 32 ＋ 。 ＋ n2 = （n ＋1）（n＋ ）； （2）
32（
1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10 ＋ 。
nn ＋ 1）
=
n（n＋1）（n＋2）； （3）
26
a·b ＋（a ＋1）（b ＋1） ＋（a ＋2）（b ＋2） ＋ 。 ＋ （c …1）（d …1） ＋ c·d
nn
= ＇（2b ＋ d）·a ＋ （2d ＋ b）·c＇ ＋ （c …a） （4）
66
除了（4）式与沈括隙积术公式相同外，其他公式均为杨辉独立推出。
2．捷算法与素数
杨辉致力于捷算法的研究，并�