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显然，一次同余组解法的关键是如何选定满足条件
M
ki o 1（mod Ai ）
Ai
的一组数kio。秦九韶将这组数称为“乘率”，并在《数书九章》中详细叙
述了计算乘率的方法——“大衍求一术”（现在亦指整个一次同余组解法）。
用现代符号表示，大衍求一术的基本计算程序是：
M
若G =
Ai
，先用A 除G ，求得余数g ＜A ，那末G ≡g （modA ）；
i ii ii iii
于是kiGi≡kigi（modAi）。但kiGi≡1（modAi），所以问题归结为求ki，使之
满足kigi≡1（modAi）。秦九韶把Ai 称为“定数”，gi 称为“奇数”。他的
大衍求一术实际上就是把奇数gi 和定数Ai 辗转相除，相继求得商数q1，
q2，。，qn 和余数r1，r2，。，rn。在辗转相除过程中，随即算出下表右
侧的ci值：
商数余数 c 值
A1/g1 q1 r1 c1=q1
g1/r1 q2 r2 c2=q2c1＋1r1/r2 q3 r3 c3=q3c2＋c1
。 。 。 。
。 。 。 。
。 。 。 。
rn…2/rn…1 qn rn cn=qncn…1＋cn…2
秦九韶指出，当rn=1 而n 是偶数时，最后得到的cn就是所求乘率ki。如
果rn=1 而n 是奇数，那末把rn…1和rn相除，形式上令qn…1=Rn…1…1，那末
余数rn＋1仍然是1，再作cn＋1=qn＋1cn＋cn…1，这时n＋1 是偶数，cn＋1就是所求
的ki。不论哪种情形，最后一步都出现余数1，故称“求一术”。可以证
明，秦九韶这一算法是完全正确的和十分严密的。下面是用大衍求一术求
乘率的一个数字实例（其数字见于《数书九章》中关于开禧历上元积年的推
算）。已知奇数g=377873，定数A=499067，求乘率k。按照辗转相除公式，
整个计算过程可表示为如下的筹算图式：
（1）■■
（2）■■
（3）■■
（4）■■
（5）■■
（6）■■
（7）■■
（8）■■
（9）■■
（10）■■
（11）■■
从图式（11）可知，右上角的数字（r10）已变成1，并且n=10 是偶数。因此，
左上角的数字（c10）即为所求乘率，即k=457999，这时有377873×457999≡1（mod499067）。由上例可见，秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值
解法一样，简洁、明确、带有很强的机械性，其程序亦可毫无困难地转化
为算法语言，用计算机来实现。在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，
如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计
地”等等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题
中的广泛应用。由于在许多问题中，模数A■并非两两互素，而中国传统
数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题。秦九韶
所设计的将模数化为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解
决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”。综观他在求解一次同
余组问题的各项成就，正如李文林、袁向东所说：“所有这些系统的理论，
周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示了秦九韶高超
的数学水平和计算技巧。”在西方，最早接触—次同余式的是意大利数学
家L．斐波那契（Fibonacci，约1170—1250）。他在《算盘书》中给出了两
个一次同余问题，但没有一般算法。直到18—19 世纪，L．欧拉（Euler，
1743）、G。F。高斯（Gauss'1801）才对一次同余组进行深入研究，重新获得与
中国剩余定理相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。1852
年，英国传教士、汉学家伟烈亚力（A。Wylie，1815—1887）发表《中国数学
科学札记》（Jottings on the science of Chinese arithmetic），其中谈
到了大衍求一术。从1856 年到1876 年，德国人L。马蒂生（Matthiessen，
1830—1906）等西方学者又多次指出大衍求一术原理与高斯方法的一致
性，从而更加引起了欧洲学者的瞩目。德国著名数学史家M。康托尔
（Cantor，1829—1920）高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中
国数学家是“最幸运的天才”。印度学者对一次同余式问题也有过重要贡
献。在6 世纪至12 世纪间，印度数学家提出了一种类似于“求一术”的“库
塔卡”算法，应用于解决与一次同余组等价的不定方程问题。但在时间上
晚于《孙子算经》，而在一般性和完整性上又不如大衍求一术。
秦九韶所著《数书九章》，是他勤奋学习、苦心钻研和多年积累的数
学成就的结晶，是一部堪与《九章算术》相媲美的数学名著。这部著作，
南宋时称为《数学大略》或《数术大略》，明清时还曾题称《数学九章》，
明万历时赵琦美为此书撰写跋文始称《数书九章》。后来道光时按赵抄本
校刻的《宜稼堂丛书》本流传较广，《数书九章》遂成为现今的通称。该
书共18 卷81 题，分为9 类，每类9 题。这些问题是秦九韶从他收集的大
量资料中精选出来的较有代表性的问题。主要内容是：
（1）大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；
（2）天时类，历法推算，雨雪量的计算；
（3）田域类，土地面积；
（4）测望类，勾股、重差等测量问题；
（5）赋役类，田赋、户税；
（6）钱谷类，征购米粮及仓储容积；
（7）营建类，建筑工程；
（8）军旅类，兵营布置和军需供应；
（9）市易类，商品交易和利息计算。
从其著作体例来看，《数书九章》受到《九章算术》等经典著作的传
统影响，仍然采用问题集的形式，但在各题术文（解题方法）之后，多附有
“草”，即表明演算步骤的算草图式。在《数书九章》中，除了前面提到
的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，还记载了不少其他方面的成
就。例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的
直除法，已同今天所用的方法完全一致；在开方中，他发展了刘徽开方不
尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值；他对于《九
章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发；他在几何方面的另一
项杰出成果是“三斜求积术”，即已知三角形三边之长求其面积的公式。
设三角形面积为A，三边长分别为a，b，c，则秦九韶的公式相当于：
1 a2 ＋ b2 …c2
22 2
A =
＇a b …（ ）＇；
42
这个公式与古希腊著名的海伦公式
（A =
（ …a）（s…bs …c）；
ss ）（ 其中s =
a ＋
2b ＋ c
是等价的。《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文
历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口
增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会
经济领域的真实情况。
关于秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派一
致。他明确指出“数与道非二本也”，再加上数学实践的切身体会，使他
对于数学的重要性产生了较为清楚的认识。他说，数学研究“大则可以通
神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”但他又承
认自已对于“通神明，顺性命”没有太深的体会，于是注意搜求天文历法、
生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于
用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以
避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果。为此，他付出了
辛勤劳动，撰写出20 余万言的数学巨著。他的这种思想和作法是难能可贵
的，应该给予充分的肯定。
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学
家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国
数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。美国著名
科学史家G。萨顿（Sarton，1884—1956）说过，秦九韶是“他那个民族，他
那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
文献
原始文献
＇1＇（宋）秦九韶：数书九章，《宜稼堂丛书》本，1841。
＇2＇（宋）刘克庄：缴秦九韶知临江军奏状，见《后村先生大全集》卷八
十一，上海商务印书馆影印赐砚堂钞本，1929。
研究文献
＇3＇（清）阮元：畴人传·卷二十二，商务印书馆重印本，1955。
＇4＇（清）焦循：开方通释，《木犀轩丛书》本，光绪年间。
＇5＇（清）焦循：大衍求一术，天津德化李木斋藏稿本。
＇6＇（清）张敦仁：求一算术，自刊本，1831。
＇7＇（清）张敦仁：开方补记，1834。
＇8＇（清）时曰淳：求一术指，长沙刊本，1873。
＇9＇（清）黄宗宪：求一术通解，《古今算学丛书》本，1898。
＇10＇李俨：大衍求一术之过去与未来，见《中算史论丛》第1 集，科
学出版社，1954
＇11＇李俨、杜石然：中国古代数学简史，中华书局，1963—1964。
＇12＇钱宝琮：求一术源流考，见《钱宝琮科学史论文选集》，科学出
版社，1983。
＇13＇钱宝琮：增乘开方法的历史发展，见钱宝琮等《宋元数学史论文
集》，科学出版社，1966。
＇14＇钱宝琮：秦九韶《数书九章》研究，见钱宝琮等《宋元数学史论
文集》，科学出版社，1966。
＇15＇ 钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964。
＇16＇吴文俊主编：秦九韶与《数书九章》，北京师范大学出版社，1987。
＇17＇李文林、袁向东：中国剩余定理，见自然科学史研究所主编《中
国古代科技成就》，中国青年出版社，1978。
＇18＇ 何绍庚：秦九韶，见阙勋吾主编《中国古代科学家传记选注》，
岳麓书社，1983。
＇19＇Ho Peng…Yoke： Ch'in Chiu…shao；见Dictionary of scientificbiography Vol。III； Charles Scribner′s