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346．61953 日，这与理论值之差仅约15 秒，其精确度远高于前代各历法，
后世也只有纪元历（1106）所取值的误差（约7 秒）较之为小。边冈测算得月
亮过远地点时间的误差为0．35 日，精确度也较大衍历高过一筹。崇玄历
月亮运动不均匀改正表的精度（用月亮每日实行度的测算结果衡量，误差为
7．0＇ ），在历代同类表格中是最佳的。关于五星会合周期的测定，崇玄历
取木星会合周期为398。88608 日，误差为2。9 分钟，优于大衍历（误差为
13。5 分钟），而且该值对后世许多历法产生了很大的影响。崇玄历所取金、
水二星会合周期的精度亦高于大衍历，但火、土二星会合周期的误差却远
大于大衍历。边冈对火星近日点黄经进行了较精确的测算，与理论值仅差
1。57°，是为历代最佳值。边冈测得木、火、土、金、水五星近日点黄经
的进动值分别为35。20″，35。08″，34。94″，35。31″和35。12″，虽然
这些数值的误差都较大，但从总体上看比前代各历法进了一步，而且在纪
元历以前各历法均参照这些数值，影响是相当大的。对于五星运动不均匀
改正的数值表格，边冈也给出了新的格式：他把一周天分为前后不均等的
两大段“盈限”和“缩限”，每一大段又各均分为12 小段，分别列出五星
运动的具体盈缩值。在对五星近日点黄经的测量存在一定误差的情况下，
这一新格式能较真实地反映五星运动不均匀改正的不对称性，可以较好地
描述五星运动的真切状况。这一新格式对宋初一些历法产生了较大的影
响。以上这些成果表明，边冈在编制崇玄历时曾进行了相当多的且十分精
到的天文实测工作，他无愧是一位有成就的天文观测家。
边冈的主要贡献还在于一系列历算方法的创新，在崇玄历中，他设计
了不少巧妙的删繁就简的便捷算法。例如，推求任一年十一月冬至时月亮
平均行度（B），依传统方法应等于：
式中A 为上元到所求年的积年数，A≥53947308。若将有关数据代入上式，
则有：
这对于古人来说当然是一个相当繁杂的算题。边冈则设计了以下算式替代
之：
41 2
B = 19
（639
119
×■余…
37
×■周）
的余数；
周天度数
式中■周等于A／9036 的整数，其余数即为余。对于A=53947308 以及
其后600 年内，其■周均等于5970，■余则在2388 至2988 之间变动，依
两种算法所得B 值的差异将不大于0。04 度，这应是当时的计算误差所能允
许的。
又如，推求任一年冬至午中与月亮远地点间的时距（G），依传统方法应
为：
式中E 为冬至时刻与午中的时距，冬至时刻在午后时为减，午前时为加。
将有关数据代入，则有：
4930801
×A±E
G = 13500
。
的余数；
371986 97
13500
边冈又设计了如下算式以替代之：
式中C 等于■余／47 的整数，其余数即为D。对于A=53947308 及其后600
年内，C将在50至63间，而D在0至47间，依两种算法可得G值的差异
将不大于0。05 日，也在计算误差允许的范围内。由这两个例子可见，边冈
设计的新算法确比传统方法便捷得多，而且保持了必要的准确度，这表明
了边冈具有十分敏捷的思维与纯熟、巧妙的数据处理能力。应该说这些还
只是边冈在历算上小试锋芒而已，他更重要的贡献是关于先相减后相乘法
的总结与推广，以及高次函数法的发明与应用。
隋唐时期，刘焯（公元604 年）、一行（公元728 年）等人发明等间距或
不等间距二次差内插法、等差级数法等，为较好地定量描述日、月、五星
的运动提供了全新的数学方法。此外，约在公元780 年，曹士■在他的符
天历中，首创了又一种新算法，应用于太阳中心差的计算，其公式为：
1
V …M = （182 …M）·M；
3300
式中M 为太阳距冬、夏至的平行度，V 为相应的实行度。这一算法具有简
便鲜明的特点，从数学原理上考察又与二次差内插法、等差级数法等有异
曲同工之妙。可惜，直到边冈，刘焯、一行的算法倍受历算家的重视并被
广泛应用，而对曹士■的算法却几乎无人问津。在崇玄历中，边冈一方面
自如地应用等间距二次差内插法于日、月运动的计算；一方面对曹士■的
算法作了数学上的总结和归纳，从而提炼为所谓先相减后相乘法。如对上
式可表述为：M 先与182 相减，后又令其余数与M 相乘，再除以3300。并
且把这一算法广泛应用于许多历法问题的计算。
崇玄历求太阳中心差的算式为：
1
V …M =
3435
（1818682…M）·M。
。
式中V、M 的含义与上式相同，显然它受到了上式的直接影响，但其准确度
要较上式为高。
崇玄历以前各历法在计算黄赤道宿度差时，均采取文字叙述的表格计
算法，一般规定在二至或二分前后，太阳赤经每增4 或5 度，太阳极黄经
较太阳赤经增或减若干度，计算起来比较繁杂。而崇玄历则以下式求算之：
F = ± ＇（1315 …SS …（
1 144
）
1
4566 …SS ） ＇ 。
10000 10 1690
式中F 为太阳极黄经与赤经之差，S 为太阳赤经值，0＜S＜45．65685 度；
若45．65685＜S＜91．3137 度，需以91．3137 度返减之。可惜，依该式
计算结果的误差约为0．35°，精度反不如前，这是边冈对黄赤道差的变
化规律还没有很好把握造成的。
关于月亮极黄纬的计算，崇玄历应用了如下公式：
当m＜30 度，及152＜m＜182 度（需以182 度返减之）时，
193 81305
P = （ …mm
）；
350000 386
当30＜m＜91 度，及91＜m＜152 度（需以182 度返减之）时，
1733 314440 8281
P = （ …mm
） …；
2100000 1733 10500
上二式中，P 为月亮极黄纬值，m 为所求时日月亮与黄白交点的度距。依二
式计算，误差为0。37°，精度与传统的表格计算法持平。
以上各式均取先相减后相乘法。此外，在崇玄历中，在推算因定朔发
生时角不同而发生的定朔时刻与日食食甚时刻的改正值时，在交食推算中
与视差改正有关的阴历食差、阳历食差值时，亦都应用了该法。它们的共
同特点是以简易明了的算式，取代了传统的、较为繁杂的先列出数字表格，
再依表格用一次或二次差内插法计算的表格计算法。由于边冈的总结、提
倡和推广，先相减后相乘法在后世历法中被普遍采用，成为历法计算的最
重要的数学方法之一。
边冈对历法计算方法的创新还表现在关于每日晷长、太阳视赤纬、昼
夜漏刻长度等值的计算上。如果说先相减后相乘法还仅是一种二次函数的
描述的话，那么对这些历法问题，边冈更发明和应用了三次和四次函数的
描述法。
崇玄历推求每日午中时阳城的晷长（L）的算式为：
当冬至后H＜59 度时，乃夏至后H＞123。62225 度（需以182。62225 度
返减之）时，L=12。7150…（2195…15H）H2·10…6当冬至后H＞59 度（需以182．62225 度返减之）时（，） ，及夏至后H＜
123．62225 度时，
L=1。4780＋（4880—4H）H2·10…7，
上二式中H 是指二至与所求日午中之间太阳的实行度数。该二式是三次函
数式，依之计算的晷长误差为0。025 尺，与大衍历依表格计算法计算的精
度相当。该二式对仪天历（1001）和崇天历（1024）的晷长计算法产生了直接
的影响。
在计算太阳视赤纬（δ）时，边冈所应用的算式是：
δ=23．9141—T，
δ=T－23．8859，
它们分别适用于春分后和秋分后时日δ值的计算。其中
184 16
T = W2 …W4
50025 50025×3335
式中W≤91。3131 度；若W＞91。3131 度，需以182．6262 度返减之。W 为
二至到所求日夜半的太阳定行度。
而对于每日夜半定漏（Y，指每日夜漏刻长度的一半）的计算，边冈所取
算式为：
1
Y= （1752 ＋Q ），
100
1
Y= （2748 …Q ），
100
它们分别适用于春分后和秋分后时日Y 值的计算。其中
460 8
Q = W2 …W4；
6003 4004001
式中W 的含义同T 式。
同样，在崇玄历以前各历法在计算δ和Y 值时也均取表格计算法，边
冈则以相应的四次函数式替代之，依之计算，δ的误差为0。09°，Y 的误
差为4。6 分钟，二者的精度也都与大衍历所取传统的表格计算法不相上
下。边冈的δ、Y 算法对崇天历（1024）、明天历（1064）和观天历（1092）的
相应算法也产生了直接的影响。
质言之，边冈总结、推广或发明创造的二次、三次和四次函数计算法，
共同构成了一个高次函数计算法的崭新的数学模式，它们取代了一系列历
法问题计算中传统的数值表格加内插法的数学模式，是我国古代历法中数
学方法的一次极重大的变革。二、三、四次函数法与二、三、四次差内插
法在数学形式上迥异，但其实质却同，即两者是可以互通的。在边冈以前，
三次差内插法尚未出现完善的形式，一直到授时历（1281）才最终完成，而
且我国古代历法史上从未有过四次差内插法，更可见边冈首创的三、四次
函数法的重大意义。相比较而言，高次函数法较表格计算法具有形式简明、
计算便捷的突出优点，而且自边冈始，新法的计算精度已大抵达到了旧法
的水平。此外，表格计算法具有较浓重的实测型、经验型色彩，对日、月
运动和有关天文量变化的描述存在区间性及不协调的重大缺欠，而高次函
数法则把这些描述完全数学化了。所以，无论从数学上或是从天文学上看，
边冈的高次函数法都是相当成功�