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《大明历》表”、“驳议”、“安边论”等等。
祖冲之在数学方面的成就，首先应该叙述的乃是关于圆周率的计算。
在中国古代，也和世界上任何文化开发较早的国家和地区一样，最早
被人们使用的圆周率是3。这一误差很大的数值，在中国一直被沿用到汉
代。入汉以后，对圆周率的改进吸引了不少科学家的注意，例如刘歆、张
衡、刘徽、王蕃、皮延宗等人都进行了研究。在许多人的工作中，生活于
魏晋之际的数学家刘徽的研究最为重要。假如把刘徽称为是祖冲之的先行
者，那他确实是当之无愧的。
刘徽在计算圆面积的过程中，实际上也计算了圆周率。刘徽从圆的内
接正6 边形起算，依次将边数加倍，分别求出内接正12，24，48，。。等
内接正多边形的一边之长，从而算出内接正24，48，96，。。等正多边形
的面积。边数增加的越多，内接正多边形面积与其外接圆面积之差愈小，
算得的圆面积也就愈准确，求得的圆周率也就更加精密。边数增加愈多，
像是把圆愈割愈细，因此刘徽的这种方法称为“割圆术”（载于现有
157
传本的刘徽注《九章算术》之中）。刘徽用这种方法求得圆周率
50
（相
当于π= 3。14 ），也有人认为他还算得了
3927
（相当于π= 3。1416 ）。
1250
关于祖冲之在圆周率方面的工作，其史料仅见于《隋书·律历志》，
但记载过于简略，下面就是此段记载的原文：
“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、
王蕃、皮延宗之徒各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开
密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，
■数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈■二数之间。密率：
圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，圆周二十二。”
这段记载说明：
（1）祖冲之的圆周率方面的工作，是在刘歆、张衡、刘徽等人工作之上
“更开密法”的。
（2）他以1 亿为1 丈，即由108——九位数字开始进行计算。
（3）他算得过剩近似值和不足进似值，同时指出真值在过剩、不足二近
似值之间，相当于算得了
3。1415926＜π＜3。1415927。
圆周率的这一数值作到了小数点后7 位数字准确。
（4）他还给出了两个近似分数值，即
关于祖冲之如何算得如此精密结果，关于他所使用的方法，则没有任
何史料流传下来，这是非常遗憾的。不过，根据当时的情况来进行判断，
除开继续使用刘徽“割圆术”之外，并不存在有其他方法的任何可能性。
清代的数学史家大都认为“厥后祖冲之更开密法，仍割之又割耳，未能于
徽法之外别有新法也”（阮元《畴人传·祖冲之传》），梅文鼎的著作以及
《数理精蕴》等书，也都持这种观点。实际上，如按刘徽方法“割之又割”，
继续算至圆内接正12288 边形和正24576 边形，得出
内接正12288 边形面积：S12288=3。14159251 方丈，
内接正24576 边形面积：S24576=3。14159261 方丈。
又据刘徽割圆术可得下列不等式（式中S 表示圆面积）：
S24576＜S＜S24576＋（S24576…S12288）；
即可得出
3。14159161＜π＜3。14159271，
而这正是《隋书·律历志》所给出的盈■二限。
把1 丈化为1 亿，从圆的内接正6 边形算至正24576 边形（=6×212 边
形），需要把同一个计算程序反复12 次，而每个计算程序又包括加、减、
乘、除、开方等10 余个步骤。因此，祖冲之为了求得自己的结果，就要从
100000000（9 位数字）算起，反复进行加、减、乘、除、开方等运算130 次
以上。既使是今天，用纸和笔进行这样的计算，也绝不是一件轻松的事，
更何况中国古代的计算都是用罗列算筹来进行的。可以想象，这在当时是
需要何等的精心和超人的毅力。
由于在中国古代有利用分数进行计算的习惯，祖冲之还给出了密率
（
355）和约率（
22
）。
113 7
一个无理数可以用连分数形式来进行表示，例如圆周率即可表示成连
分数：
■
111 1
或记为π=3＋
7
＋
15
＋
1
＋
292
＋ 。。，也可以记成π= ＇3 ，7，15，
1，292，。。＇，依次截取、计算即可得出一串关于π的数值，例如
1 22
π = 3 ＋= ，
77
1 1 333
π = 3 ＋
7
＋
15
=
106
（相当于π= 3。141509431 ），
，
1 1 1355
π = 3 ＋＋ ＋= ，
7 15 1 113
1 1 1 1 103993
π = 3 ＋
7
＋
15
＋
1
＋
292
=
33102
（相当于
π=3。141592653），
。。
P
这一串数值都是最佳渐近分数值（即这串数值
Q
，都是在所有分母不大
于Q 的分数中与π最接近的分数值）。但是反过来说，最佳渐近分数值却
不一定都是由连分数来算得的。例如在
103993
之前即在分母小于33102
（
33102
的分数中）还有许多个最佳渐近分数值，最靠近
355
的是
52163
。因此
113 16604
也可以说，在分母小于16604的近似分数值中，
355
是最佳分数，最与
113
π接近。
但直到目前为止，我们还没有发现任何证据足以说明中国古代已有连
分数的应用。
在中国古代的天文历法的计算中，曾有过一种逐渐调整分母和分子数
值以求得使分数值更加接近真值的方法，叫作“调日法”。宋代的学者认
为“调日法”始自南北朝时期稍早于祖冲之的何承天。“调日法”的基本
ac
分别为不足和过剩近似分数，则适当选取m， ，新
内容是：假如
b
，
dn
得出的分数
ma ＋ nc
有可能更加接近真值。例如由
157
（刘徽）和
22
mb ＋ nd 507
（祖冲之约率）即可算得
157×1 ＋ 22×9 355
=
50×1 ＋ 7×9 113
又由
3
（古率）和
22
亦可算得
3×1 ＋ 22×16
=
355
。用“调日法”算得
1 71×1＋ 7×16 113
355
的分数值，再用割圆术求得的精确数值来校验，即可断定
113
为“密
率”。
在西方，直到1573 年，德国数学家V．奥托（Otho，1550？—1605）
方才算得
355
这一数值；而在一般西方数学史著作中却常误以为这一数
113
值是荷兰工程师A．安托尼兹（Anthonisz，527—1607）得到的，因而
355 355
称
113
为安托尼兹率。日本数学史家三上义夫（1875—1950）主张将
113
这一圆周率数值称为“祖率”。
355
按《隋书·律历志》的记载，祖冲之曾用
113
这一圆周率来校算王莽
所造的量器——“律嘉量斛”。约率
22
虽仅精确至小数点后二位数字，
7
但使用起来是方便的。
关于球体体积的计算，乃是祖冲之在数学方面的又一项成就。祖冲之
在批驳戴法兴的“驳议”中说：“至若立圆（球体）旧误，张衡述而弗改，。。
此则算氏之剧疵也。。臣昔以暇日，撰正众谬”，可见这也是祖冲之早年
的工作。然而在7 世纪，在唐代李淳风为《九章算术》所写的注文中，却
把它作为“祖■开立圆术”加以引述，因而也可以认为这是一项祖氏父子
共同的研究结果。在中国古代，例如在《九章算术》中，是按外切圆柱体
与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比来进行球体体积计算的。
刘徽指出了这一错误并正确地提出“牟合方盖”（垂直相交的二圆柱体的共
同部分）与其内切球体体积之比，方才等于正方形与其内切圆面积之比。但
是他却未能求出“牟合方盖”的体积。这一问题被祖氏父子解决了。祖氏
父子的方法是：
首先取一立方体（高=半径r），以左下角为心，r 为半径，分纵横二次
各截立方体为圆柱体（如图1）。如此，立方体将被分成四部分：两个圆柱
体的共同部分（即“牟合方盖”的1/8，祖氏父子称之为“内棋”，如图2），
以及其余的三部分（“外三棋”，如图3，4，5）。其次为算出“内棋”体
积，他们先算出“外三棋”体积。方法是：将内、外棋再合成一个立方，
在高为h 处作一平行于底的平面（如图6）。如设“外三棋”的横截面面积
为S，则
S=r2…（r2…h2）=h2。
再取一个高与底方每边长度均为r 的方锥，倒立之，则易算得这个■
方锥在高为h 处的横截面积亦为h2。
再次，“外三棋”和方锥在等高处的截面积总是相等，祖氏父子说“叠
棋成立积，缘幂势既同则积不容异”，这两个立体体积不容不等。于是算
得“外三棋”体积与一个方锥体体积相等，即等于1/3 立方体，从而算得
“牟合方盖”体积为2/3 立方体。
最后再应用刘徽的成果：
球体积：“牟合方盖”体积=圆面积：外切方面积从而求得球体积的正
确公式：
2
球体积=
πr2 ·
2
（2r） 3 =
4
πr3。
（2r）3 4
在这里，祖氏父子应用了“缘幂势既同则积不容异”的原理，这一原
理和意大利数学家B．卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647）所提出的“卡瓦
列里公理”的意义是相同的。按道理，应该将“卡瓦列里公理”改称之为
“祖氏公理”。
在谈到祖冲之在数学方面的成就时，我们还应提到那部失传已久的《缀
术》。
《隋书·律历志》在记述了祖冲之在圆周率方面的成就之后说：“（祖
冲之）。。又设开差幂、开差立，兼以正员（按：应为“负”）参之，指要精
密，算氏之最者也。所著之书称为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废
而不理。”唐代王孝�