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下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”在开立方中也有类
似方法。这种求十进分数的思想与现今求无理根的十进小数近似值完全相
同，其意义十分重大。计算精确的圆周率，必须求微数，它是保证中国圆
周率计算长期领先的先决条件。同时，它开十进小数之先河，对中国在世
界上最先使用小数起了促进作用。
枝条虽分而同本干——刘徽的数学体系刘徽的数学知识分散在《九
章算术》中，好像杂乱无章，前后失次，实际上并不然。他说：“事类相
推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”这个端是什么
呢？刘徽在谈到数学研究并不特别困难时说：“至于以法相传，亦犹规矩
度量可得而共。”规、矩分别是画圆、画方的工具，表示事物的空间形式，
度量指度、量、衡，表示事物的数量关系。刘徽的话表明他认为数学方法
来源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何
与算术、代数的统一。对《九章算术》的解法进行论证是刘徽注的主题。
上文所列出的论证所使用的推理都是演绎推理，因而其论证是演绎证明。
事实上，整个刘徽注固然使用了大量类比与归纳推理，但在数学命题的论
证上主要使用了演绎推理。据分析，刘徽注中包含了三段论、关系推理、
连锁推理、假言推理、选言推理以及二难推理等演绎推理形式。刘徽推理
的前提是由公认的事实抽象出来的原理及已经证明的公式、解法。当然，
还必须提出许多数学定义。在中国，数学定义最初出现在先秦《墨经》中。
《九章算术》却没有任何定义。刘徽继承墨家传统，提出了若干定义，如
方程。“方”的本义是并船，许慎《说文解字》：“方，并船也”，亦训
并。“程，课程也”，考核其标准。方程的本意是并而程之。细言之，是
将一组物的各种数量关系并列起来考察诸物的标准。刘徽说：“群物总杂，
各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数
程之，并列为行，故谓之方程。”显然是一个符合方程本义的发生性定义。
刘徽关于正负数的定义：“两算得失相反，要令正负以名之。”它表明，
正负是互相依存的，不再是以盈为正，以欠为负的朴素描述。根据这个定
义，方程中各行系数的正负可根据消元的方便而定：“可得使头位常相与
异名。”面积的定义：“凡广从相乘谓之幂。”由这个定义，可以计算曲
面的面积，并且可以把与面积无关的两数相乘问题化成面积问题解决。刘
徽没写出体积的定义，但遍察《九章算术》，刘徽没写注的只有53 问的术
文，其中52 问（分别在卷二、三、八）或已注过总术，或已注过同类术，根
据简约的原则，不必再注。余下没作注的便只有商功章方堡■（方柱体）体
积公式。这不是刘徽的疏漏，而是把它看成不能证明的真理，因此可以理
解为定义。刘徽着力探讨《九章算术》各公式、解法，以至数学各部分之
间的关系。以体积问题为例。《九章算术》以■验法为主要方法，其正确
性是归纳的结果。刘徽则不然，他在用无穷小分割完成阳马与鳖■的体积
公式证明之后指出：“不有鳖■，无以审阳马之数，不有阳马，无以知
锥亭之类，功实之主也。”并且接近提出任何四面体的体积都是
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他将方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体分割成长方体、堑堵、阳马、
鳖■，以证明其体积公式。刘徽的多面体理论是从长方体出发，以四面体
体积公式的证明为核心，以演绎推理为主的理论体系。刘徽的其他理论都
可作类似分析。总之，数学在刘徽的头脑中形成了一个独具特色的体系。
它从规矩度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数的定义，运用齐
同原理、出入相补原理、无穷小分割方法，以演绎逻辑为主要推理方法，
以计算为中心，以率为纲纪。它“约而能周，通而不黩”，并且没有任何
循环推理，全面地反映了到公元3 世纪为止的中国人的数学知识。刘徽《九
章算术注》不仅有概念，有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理。
它的出现标志着中国古代数学形成了自己的理论体系。
刘徽和他的时代公元3 世纪由刘徽完成《九章算术注》这样杰出的著
作不是偶然的。中国封建社会经过两汉大发展，到魏晋发生了大变革，经
济关系的基本特征是庄园农奴制，门阀士族占据政治舞台的中心，中国封
建社会进入一个新阶段。与此相适应，繁琐的两汉经学和谶纬迷信被冷落，
儒学衰微，代之而起的是以研究三玄（《周易》、《老子》、《庄子》）为
中心的辩难之风，思想界出现了春秋战国百家争鸣之后所未有过的解放与
活跃局面。知识分子较能按自己的特长和社会需要发挥才智，而少受追求
功名利禄及代圣贤立言的精神枷锁的束缚，从而打开了数学研究中发挥创
造性的大门。以严谨为其特点的数学几百年来积累了大量公式、解法需要
证明其正确性，而“析理”，探索思维规律，互相辩难，追求理性的辩难
之风的兴起促进了这个过程的完成。刘徽注《九章算术》的宗旨“析理以
辞，解体用图”无疑是辩难之风中“析理”在数学中的反映。刘徽主张“要
约”，“举一反三”，反对以多为贵、远引繁言，主张触类而长，这都与
嵇康、王弼、何晏等思想家的主张一致，甚至他们的许多用语、句法也都
相近。因此，刘徽深受辩难之风的影响而析数学之理是顺理成章的。我们
由此而断定刘徽为嵇康、王弼的同代人而稍小一点，当生于3 世纪20 年代
后期或稍后，注《九章算术》时年仅30 岁左右，这与汉末三国多早熟夙悟
才子是吻合的。
刘徽成长在齐鲁地区为他在数学理论上做出贡献提供了良好的客观条
件。邹鲁之乡是儒学的发祥地，临淄稷下学宫招徕全国著名学者，成为先
秦百家争鸣的中心之一。经两汉到魏晋，齐鲁的学术空气一直十分浓厚，2—3 世纪更出现了徐干、仲长统、王肃、郑玄、王弼等大思想家，曹魏时
期，齐鲁地区又是正始之音辩难之风的中心之一。因此，刘徽从小能受到
良好的文化教养，并置身于辩难之风之中。另一方面，2—3 世纪，齐鲁地
区的数学比较发达，出现了刘洪、郑玄、徐岳、王粲等著名数学家，形成
了以研究《九章算术》为主的数学中心，这就给刘徽少年时师承贤哲，成
年后“采其所见”，从事深入的数学研究准备了丰富的资料。在这样的客
观条件下，使刘徽有可能改变数学偏重实践经验，忽视理论研究的传统，
向重视理论研究的方向转化。
刘徽本人具有一个大科学家的素养，是他成功的内在因素。首先，他
继承了《九章算术》开创的数学联系实际的传统。刘徽在论述包括数学本
原在内的各种问题时都坚持实事求是，没有神秘的成分。他说：“不有明
据，辩之斯难。”全部《九章算术注》的推理、论证都有可靠的论据和前
提。他指出数学“非特难为也”，批评张衡欲协其阴阳奇耦而不顾数学上
疏密的错误，指出“虽有文辞，斯乱道破义，病也。”与不可知论及数字
神秘主义划清了界限。刘徽博览群书，善于汲取历代思想家的思想资料用
于自己的数学创造。他引用《墨子》、《周礼》及《考工记》、《左氏传》、
《周易》、《论语》、《管子》、《老子》、《庄子》、《史记》、《淮
南子》等典籍的话，顺手拈来，天衣无缝，表明他谙熟诸子百家言。他置
身于时代潮流中，重视数学理论研究，他的无穷小分割中“不可割”的观
点与墨家“不可■”的思想一脉相承，“至细日微，微则无形”的观点则
源于《庄子》“至精无形”，他的推理方式受到王充《论衡》的影响，等
等，都是时代的产物。但他不迷信古人。《九章算术》在东汉已被奉为经
典，刘徽为之作注，对之自然十分推崇。然而他并不盲从。他在全面论述
《九章算术》的同时，指出了它的若干错误及不精确处。如批评宛田术和
开立圆术的错误。指出有关圆或圆体的问题或术文“以周三径一为率，皆
非也”。在中国数学史上批评《九章算术》最早最多最深刻的，要数刘徽。
他还批评世人因袭《九章算术》之旧法，“莫肯精核，学者踵古，习其谬
失”。同时，他虚怀若谷，敢于承认自己的不足。对自己设计的牟合方盖，
他“判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正”，未能求出其体积，然
而他决不不懂装懂，故弄玄虚以欺世人，而是坦率地承认“欲陋形措意，
惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，既表现了他“知之为知之，不知为
不知”的实事求是作风，又反映了他寄希望于后学，相信后人能超过自己
的坦荡胸怀。刘徽认为，用数学方法解决实际问题，应在认识数学精理的
基础上尽量灵活运用各种数学方法，所谓“设动无方”，而不应“专于一
端”，不知变通。他以《庄子》“庖丁解牛”的寓言作比喻，说“数，犹
刃也。易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤。”因此，他
对一个问题常常提出几种不同的解法，对一种解法，又提出不同的理解途
径，大大丰富了《九章算术》的内容。
当然，在表彰这位数学巨匠的功绩时，也不能不指出他的某些不足。
刘徽在数学上无疑是位创造者、革新者。就他的水平，完全可以写出一部
水平更高的自成体系的著作。然而他未能突破给经典著作作注的惯例，把
自己的真知灼见分散到《九章算术》中，这对后人理解《九章算术》大有
裨益，但却