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万小廉、张辉祖、冯桂芬、吴子根等。李锐妻龚氏早亡，续娶张氏、章氏，
皆无嗣。四娶薛氏，生子可玖，李锐殁时还在襁褓之中。李可玖聪颖好学，
道光年间补为学生员，不幸于中年游皖江时因舟覆而淹死。
李锐生当清代乾嘉时代。这一时期，清政府对外采取了闭关政策，西
洋科学知识不能再如明末清初那样大量地输入；同时，由于满族统治阶级
对汉族知识分子采取高压政策，屡次掀起文字狱，遂使一般知识分子只好
埋头于故纸堆中，在古代经籍中寻求学问的出路，这就是以考据和复古为
特征的乾嘉学风兴起的时代背景。李锐的业师钱大昕，以及后来他所接触
的阮元，都是乾嘉学派江浙圈子中的核心人物；至于他本人和焦循、汪莱、
张敦仁、李潢、沈钦裴等，都是乾嘉学派在天文、数学领域中的杰出代表。
乾嘉学派虽然以复兴古学相标榜，但由于他们讲求考据的方法，用分
析、归纳的逻辑推理来研究古代经籍，因而在学术上取得了超越前代的成
就。在天文、数学领域，他们的成果也表现在两个方面：一是对古典天文、
数学工作的整理与挖掘；二是运用较科学的研究方法，在某些经典课题上
繁衍出新的成果。李锐在这两方面都做了杰出的工作。
李锐的主要著作，都被收集在《李氏算学遗书》之中。该书初刊于嘉
庆年间，共18 卷11 种，其子目为：《召诰日名考》、《三统术注》、《四
分术注》、《乾象术注》、《奉元术注》、《占天术注》、《日法朔余强
弱考》、《方程新木草》、《勾股算术细草》、《弧矢算术细草》、《开
方说》。此外，他还著有《测圆海镜细草》、《海岛算经细草》、《缉古
算经细草》、《补宋金六家术》、《回回历元考》等书。
除了以上著作之外，他还是《畴人传》一书的设计者和主要执笔人。
《畴人传》以历法沿革为主线，以人为纲目，共录自远古至当时的中外历
算家316 人。其文体则分为“传”、“论”两部分：“传”主要由原始文
献荟萃而成，“论”则是作者对传主的简短评语。这是中国历史上第一部
专为科学家立传的著作，所收材料大体能反映中国古代天文、数学发展的
面貌。作为该书名义上编者的阮元，提到其编纂过程时说自己“供职内外，
公事频繁”，而“元和学生李锐暨台州学生周治平力居多”。类似的话他
在为罗士琳《畴人传续》写的序言和应李锐子可玖写的“李尚之传”中也
都一再重复。阮元以地方长官的身分办学刻书，冠其名出版的《经籍纂诂》、
《十三经注疏》，《皇清经解》等无不出自其幕宾之手，此情自可推衍到
《畴人传》上。阮氏自称“本昧于天算”，又认定李锐“深于天文算术，
江以南第一人也”，自然会将这部书的具体工作委托给这位精通天算的幕
宾来干。从该书的具体内容来看，其中“张寿之”、“刘洪”、“马显”、
“吴昭素”、“周琮”、“刘孝荣”、“卫朴”、“姚舜辅”、“蒋友仁”、
“王孝通”、“李德卿”、“谭玉”、“杨级”、“耶律履”、“贝琳”
等传都与李锐有关著作中的文字完全相同；“虞■”、“王处讷”等传中
还可见“李尚之锐曰”等字样，因而华衡芳《学算笔谈》认为：“（《畴
人传》）正传成于阮氏，实为元和李氏手笔。”
李锐对方程论的兴趣发轫于对李冶、秦九韶等宋元数学家著作的整
理，但直接的导因却是汪莱对各类数字方程是否仅有一个正根的讨论。他
在“衡斋算学第五册跋”中提出的三例本是对汪氏96 条“可知”与“不可
知”的归纳，其第一例相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根，
第三例相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根。它们与
16 世纪意大利数学家G·卡尔达诺（Cardano）提出的两个命题极为相似。
在《开方说》卷上之中，李锐则给出了更一般的陈述：“凡上负、下正，
可开一数”，“上负、中正、下负，可开二数”，“上负、次正、次负、
下正，可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正，下负，可开四数
或二数”。推而广之，他的意思相当于说：（实系数）数字方程所具有的
正根个数等于其系数符号序列的变化数或比此数少2（精确的陈述应为“少
一个偶数”）。这一认识与R·笛卡儿（Descartes）于1637 年提出的一
条关于判断方程正根个数的符号法则是不分轩轾的。除了关于方程正根个
数判定的符号法则之外，《开方说》中还有其他许多重要成果：他将正根
以外的适合方程的解称之为“无数”，指出“凡无数必两，无一无数者”；
他在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件；他引进
了负根和重根的概念；充实完善了宋元算家关于诸如倍根变换、缩根变换、
减根变换、负根变换之类的方程变形法；创造了先求出一根的首位再由变
形方程续求其余位数字乃至其余根的“代开法”。这些内容标志着他在方
程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上一个引
人注目的理论成果。
李锐对天文历法的研究体现了强烈的数理倾向，其代表工作就是《日
法朔余强弱考》中关于古代调日法的研究。调日法是中国古代天文学家以
分数来渐近表示朔望月长度的一种数理方法，但是“元明以来畴人子弟罔
识古义，竟无知其说者”。对于《宋书·律历志》中“宋世何承天更以四
十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法”这一
记载，李锐是元代以后第一个予以重视并给出了正确解释的学者。他指出：
分别以
26
和
9
为强、弱率，何承天将朔望月的奇零部分表示为
49 17
26×15 ＋ 9×1 399
49×15 ＋ 17×1
=
752
，分母、分子则分别称为“日法”、“朔余”。以此
为契机，李锐又对古代51 家历法所提供的数据进行考核，企图将每一历法
的日法、朔余值表示成上述强、弱二率带权加成的形式，并以此来判断其
与调日法有无关系。从现代数学的观点来看，这一设计是有问题的，因为
位于26 和9 之间的任何一个分数实际上都可以表示成它们二者的带权加成
49 17
形式，而许多历法的数据恰好满足这一条件，但这些数据很可能与调日法
无关。同时，由于精度所限和运算上的繁复，古代天文学家也不大可能全
都用这种累乘累加的方法来确定日法和朔余。李锐大约感到了后一困难，
他又创造了一种“以日法求强弱（数）”的方法，其目的仍然是把朔余与
26 9
日法的比值表示为
49
和
17
的带权加成。若以A表示日法，和分别表示xy
强、弱二数，李锐的“以日法求强、弱（数）”，相当于求解二元一次不
定方程
49x＋17y＝A。
其术文提供了一种依赖于求一术的简便算法，从而在中国数学史上第一次
沟通了不定方程和同余式组理论之间的关系。
李锐对古代天文、数学资料非常重视，“每得一书，其有历数者必广
搜博采，穷幽极微”。他对太初、三统、四分等历的上元积年数据进行核
算后得出了三者一脉相承的结论；他据宋代王■《易学》考察五代以后诸
历的岁实，解开了钱大昕关于《太乙统宗宝鉴》中数据来源的困惑；他在
《回回历元考》中正确地指出关于回历积年的不同说法系由于存在着太
阳、太阴两种纪年方式所致，这些都是有见地的结论。他在《勾股算术细
草》中利用图验法夹证明勾股定理，在《方程新术草》中解释刘徽的方程
新术，后来都被李潢采纳到其《九章算术细草图说》一书之中，成为后世
学者了解刘徽思想的钥匙。他在北京参加考试后的第二天就“与云门（指
李潢）先生书论合盖容圆”，据此可以断定李潢关于牟合方盖和祖■工作
的解说中也有李锐贡献的意见。李锐对《算经十书》和宋元数学名著的整
理也极大地激发了乾嘉时代学子们对中国传统数学的热情。
尽管在学术上取得了辉煌的成就，李锐的生活却经常处于贫困境地。
他没有固定的经济来源，主要是为人家当幕宾，以维系家庭生活和从事学
术活动的费用。他嗜书如命，但是由于自己买不起书，不得不靠借书和抄
书来获得珍贵的资料。但是他却能够安贫乐道，在逆境中顽强地坚持天文
和数学研究。他接到汪莱《衡斋算学》第五册时，正值妻亡子殇，而他本
人独客西子湖畔苏小小墓侧，其状“酸楚不可言”。关于符号法则的最初
探索就是在这样的环境下开始的。李锐虽然长年周旋于达官显贵们之间，
但他对名利并不十分介意：在阮元幕府时，“时有吴澹川刻《南野堂笔记》，
尚之长揖乞其去己名”。四方学者“凡有诘者，锐悉详告无隐”。他的每
部著作完成之后，都要先送给学术知己看，即使别人采纳了他的成果，他
也不在乎。钱大昕、张敦仁、阮元、李潢等人的著作中就都有一些是李锐
的研究心得。他热心扶植后学，总是把自己研究的最新成果教授给弟子们。
他的《勾股算术细草》最初就是为许云庵、万小廉两人写的讲义；《开方
说》则是在教授黎应南的过程中随时讲解随时修改完善的。
李锐的学术思想与乾嘉学派的宗旨密切相关。还在学徒期间，钱大昕
就告诫他：“数为六艺之一，由艺以明道，儒者之学也。”从而使他认识
到：“自世之学者卑无高论，习于数而不达于理，囿于今而不通乎古，于
是儒林之实学，遂下同于方技，虽复运算如飞，下子不误，又何足贵乎！”
（李锐，《三统术衍钤》跋）可见他�