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任务完成后，汪莱被派往石埭县任训导。
嘉庆十六年（1811），汪莱任石埭教谕，同年将其第七册算书单独付
梓。诸生员中有喜爱数学者，他都予以教诲。在石埭任上三年，汪莱过着
廉洁克己的生活。与外界学术交往的中断和自己的数学成果不能为当时所
谓考据学家们所承认，使他心情十分沉郁，加上贫病袭扰，最终卒于任上。
汪莱死后，家中萧然，囊无余资，石埭百姓出资送其归葬故里，埋于歙县
梅岭之将军打坐坞。
汪莱去世时，长子光恒才3 岁，次子光谦不足周月。汪光恒长大后有
志继承父学，撰有《小恒算说》4 卷，可惜早卒。
汪莱生于清中乾嘉时代，其时学术风气以复古为宗旨，以考据相标榜。
汪莱的家乡歙县，是清代皖派朴学的重要阵地。汪莱早年慕其同乡江永、
戴震、金榜、程瑶田之学，“力通径史百家及推步历算之术”。及至青壮
年，又长年寄居于苏、扬等当时的经济、文化中心，得以接触焦循、李锐
等吴派朴学在天文、数学领域的杰出代表。皖、吴两派朴学大师虽然都提
倡籍历算以明经，但在对待当时所谓西学的态度上是有所区别的。这一点，
可以从钱大昕致戴震的一封信中看出端倪，信中直言不讳地批评戴震的老
师江永“大率祖欧罗巴之说”，最终“则为西人所用而已”，进而诘问戴
震：“当今学贯天下者莫如足下，而独推江无异辞，岂少习于江而特为之
延誉耶？”在清朝政府对外采取闭关政策，对内大兴文字狱的政治气侯下，
这一指谪就显得更加咄咄逼人。汪莱本是一介寒儒，对于超出学术之外的
纷争没有兴趣；但是由于他的出身和他在著作中习用所谓西学的数学表达
方式，他的数学成就往往得不到时人的理解与赏识。
汪莱生前，《衡斋算学》已出过三种刊本，但是都不是足本。他去世
后，夏銮十分关心他的遗作，嘱咐长子夏■与胡培■加以搜集整理，后成
《衡斋遗书》9 卷，但未能付梓。咸丰四年（1854），夏銮四子夏燮调任
鄱阳（今江西波阳）知县，即从胡培■后人处访得《衡斋遗书》稿本，连
同《衡斋算学》7 册一道，刊成《衡斋算学遗书》合刻本，汪莱的孙子汪
廷栋参加了该书的校勘工作。《衡斋遗书》包括“覆载通几”1 卷，“参
两算经”1 卷，“乐律逢源”l 卷，“考定磬氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线
右解”l 卷、“校正九章算术及戴氏订讹”1 卷、“今有录”1 卷，以及《衡
斋文集》3 卷；《衡斋文集》中也收有多篇关于天文或数学的论文。
《衡斋算学》第一册和第四册之前半部分都是讨论球面三角形解法
的。当时传入的三角学，皆以与圆有关的线段来定义三角函数，所以又称
“割圆八线”。这种定义应用于钝角或更大的角度，势必引起符号判断或
一值对应多角的混乱，这在当时是一个相当麻烦的问题。梅文鼎、江永、
戴震、焦循都曾著书讨论，然而系统的论述却始于汪莱。在第一册算书中，
汪莱罗列了“弧角比例锐钝大小知不知”33 条、“正弧三角锐钝大小相从”
9 条以及“平三角形边角比例锐钝知不知”5 条，它们都是关于判断三角形
是否存在唯一解的问题。举例来说，汪莱称：“原所知角锐，对边小，又
所知角锐，审又所知角小于原所知角则所求对边小，若大于原所知角则不
能定。”就是说，已知球面三角形ABC 中的两个锐角A、B 以及一对边a，
求另一对边b。若B＜A，则b＜a 且唯一确定；若B＞A，则b＞a 但不唯一
确定，这就是“不知”或“不能定”。第四册算书的前半部分罗列出“弧
三角形有无定限”40 条，则全是仅有一解的球面三角问题。其中有些条目
不包括在第一册算书之内，例如他论述了球面三角形的以下性质：若a＋b＞π，则c＜2π…（a＋b）；若a＋b＜π，则c＜（a＋b）；c＞｜a—b｜等等。
除此之外，第一册算书还专门论述了解球面三角形的“垂弧法”、“次形
法”和“以量代算法”，这些内容基本上都是对梅文鼎《弧三角举要》的
进一步阐释；但是汪莱的“量角度新法”利用极三角实现球面投影图内半
周角度的“以量代算”，系对梅氏《环中黍尺》中球面三角图解法的一个
发展。
《衡斋算学》第二册专门讨论已知勾股积与勾弦和求其他元素的勾股
和较术问题。梅■成在《数理精蕴》和《增删算法统宗》中曾提出过如下
方法：设勾股形面积为A，勾弦和为K，则解三次方程
x3 …K
x2 ＋ 4A2
= 0，
2 2K
得x 为勾。但是汪莱认为此题应有两个答案，“若问者暗执一形，则对者
交盲两数”，遂另创“有两积相等、两勾弦和相等，求两勾股形各数”一
法，其法须解三次方程
3 2 （4A）2
y ＋ Ky …= 0，
K
得其正根y 为两勾弦较的几何平均数，再解二次方程
z2 …（K …） ＋ y2
yz = 0，
得二正根就是两个勾弦较。对于这一结果，当时的一些学者不能理解，认
为汪莱的算法不如梅■成的简捷。其实这一工作中已蕴涵着对高次方程正
根个数的探索，它与第一、四册算书中对球面三角形“知不知”的讨论一
起，构成了汪莱方程论研究的先导。
汪莱最重要的数学贡献是他在方程论方面的工作。在研读秦九韶、李
冶算书的时候，汪莱发现其中有些算题不只有一个解，而秦、李专以一数
为答案，是“以不可知为知”，于是著《衡斋算学》第五册，罗列出三次
以下各类方程共96 个，逐一考察其“知不知”。这里的“知”与“不知”，
与第一册算书一脉相承，即指方程是否仅有一个正根。汪莱所使用的术语，
则沿用《数理精蕴》所介绍的“借根方法”，例如，他称：“有几真数，
多几根积，与几二乘方积相等。。可知”，即是说方程
ax 3 …cx …d = 0
仅有一个正根；又称：“有几真数，多几二乘方积，与几根积相等。。不
可知”，即是说方程
ax 3 …cx ＋ d = 0 不是仅有一个正根。这一工作后来启发了李锐对方程论的兴趣，汪、李二人在方程论领域的讨论极大地丰富了清代代数学研究的内容。在第五册算书中，汪莱还就三次方程
3
…＋ d = 0
讨论了根与系数的关系。他指出（ax） ，该方（cx） 程如果有三个正根x1，x2 和X3，则
bc
x ＋ x ＋ x = ，xx ＋ xx ＋ xx = ，
123 122313
aa
xx x = da
，
12 3
这是F。韦达（Viéte）定理的一个特例。在《衡斋算学》第七册中，汪莱
进一步钻研代数方程论，他首先指出：如果高次方程可以分解成若干个一
次方程，那么这些一次方程的正根就是原方程的正根。其次，他又专门讨
论三项方程
xm=pxn＋q=0（m＞n 且均为正整数；p；q 为正数）
存在正根的充分条件，他在书中列举了18 个例子，由中可总结出上述
方程有正根的条件为
q
m n
m
np
m
n
￡ m n
… （ ） …
（ ）
r · 。
《衡斋算学》第三、六册，分别讨论“有全弧通弦求五分之一弧通弦”
和“有全弧通弦求三分之一弧通弦”，即已知半径和弦长，求该弦所对应
弧的部分之弦长问题。设以r，a 分别表示半径、弦长，a5 和a3 则分别表
示“五分之一弧通弦”和“三分之一弧通弦”，汪莱证得
1
5 5
3 4 5
5
3
2 3
3 3
2 a
a
r
a
a
r
a a
a
r
= ＋ … 和 = … ，
当时汪莱尚未见到明安图的《割圆密率捷法》，因此矜为创获；及至
见到明氏遗稿抄本，遂有悔少作之意。但汪莱所使用的几何方法，实为董
方立《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等书推求分弧通弦与全弧
通弦关系之工作的前驱。
《衡斋算学》第四册之后半部分名为“递兼数理”；“递兼”就是组
合。中国古代数学中虽然不乏组合学的思想和材料，但是明确提出类似于
今日的组合之定义并对组合性质予以讨论的则是汪莱的这篇“递兼数理”。
他在开篇堂而皇之地宣称：“递兼之数，古所未发，今定推求之则。”他
所推求的重要组合公式有：
c
c c
c
m
n m n
m i
n
i
m
m n
m m
n
m n
= …
=
=
…
=
…
。 2 1
1
，
，
！
！ ！
，
（ ）
在论证最后一个公式时，汪莱借用了传统的垛积知识，试以Cm为例，
2
他说：“以一物为主而兼它物得若干数，至以又一物为主而兼它物即不复
兼先为主之物，故所得必少一数，由此递少遂成三角堆形。”就是说：从
m 个元素中每次取2 个的组合数，可以看作先确定1 个元素后将其与其余
元素相配，得组合数为（m…1）；再取第二个元素与不包括第一个元素的其
余元素相配，得组合数（m…o—12）；依此类推，组合数每次递少一数，
故得组合总数为，这就是一个（平）三角堆，即公差为的一阶等差级
数，其和为（ ）。同理， ， ，。， 则分别对应一个
i
i
m
=
…。1 1
1
2
1
m m… …1 C C C m 3
m 4
m n
二乘、三乘、。、（n…1）乘三角堆。一般三角堆的公式，早已为朱世杰所
知；汪莱虽然没有读到未氏的《四元玉鉴》，他在“递兼数理”中也给出
了“三角堆求积通法”，从而建立起了“递兼”与“垛积”这两类组合问
题之间的联系。
汪莱青年时代所著的“叁两算径”，则是中国数学史上第一次系统探
讨非十整进制算术的论文。内中列出了二至九进制的乘法表，以九进制为
例，其相应的乘法口诀为：“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、
八六五三、八七六二、八八七—。。”，即8×2=17，8×3=2