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个坐标量的计算问题。研究表明，依刘洪的这一方法所推算的月亮极黄纬
值的误差为0。44°。前已述及，刘洪和蔡邕已经解决了计算任一时刻太阳
距天球赤极的度距（N）的课题，于是，刘洪也就给出了月亮距赤极的度距（P）
的计算法：P=N±M。刘洪关于白道的概念、黄白交角值的测定、月亮极黄
纬数值表，以及M，P 的计算方法，从表述的形式到内涵都对后世历法产生
了深远的影响。
其实，以上所述各项创新又直接或间接地与关于交食的研究有关，应
该说提高交食预报的精确度和扩展交食预报的内容，是刘洪天文历法工作
的核心部分。在乾象历中，还记载了刘洪对于交食研究的其他重要成果。
关于交食周期的探索，在刘洪时代也是一个热门课题，有不少人提出
了各自的新数据。刘洪一方面积极参与或主持关于交食周期的热烈争论，
一方面自己也进行缜密的思考和深入的研究。在乾象历中，他提出了11045
个朔望月正好同941 个食年相当的新交食周期值，由此推得1 食年长度等
于346。6151 日，误差为370 余秒。这一成果所达到的精度水平不但大大超
过他的前人，而且也使他的同代人的同类工作大为逊色。此外，在乾象历
中，刘洪还正确地建立了在一个交食周期内如下三个天文量之间存在的数
量关系：交点月个数=朔望月个数＋食年个数，这说明刘洪对这些天文量的
关系有极明晰、透彻的认识。
在刘洪以前，人们已经知道只有在朔（或望）时，以及太阳和月亮正处
在黄白交点附近的特定条件下，才可能发生交食现象，但还没有人对“附
近”这一关键词作定量化的说明。刘洪则最先对此作了明确的阐述：在朔（或
望）时，只有当太阳与黄白交点的度距小于14°33′时，才可能发生交食
现象。也就是说，刘洪明确规定，当朔（或望）时，以太阳离开黄白交点前
或后14°33′作为判别是否可能发生交食现象的临界值，亦即食限值。现
代关于食限的规定是：日食，18°31′以上必无食；月食，12°51′以上
必无食。由此看来，刘洪所取食限值没有把日食限和月食限区别开来是不
妥当的。不过，如果把刘洪所取食限值视作日、月食限的折中值，其准确
度还是不低的。无论如何，刘洪毕竟提出了一个崭新的、又是十分重要的
研究课题，使判别交食是否发生的定量化研究迈出了可贵的一步。
原先人们对于交食的预报仅限于交食发生的时间一项，只要能预知某
日将发生交食现象，便得到满足，但随着刘洪乾象历的问世，情况发生了
很大的变化。对公元221—223 年的5 次日、月食食时的实测结果，同依乾
象历推算得的相应食时的比较表明，乾象历食时预报的误差为1。5 时辰，
这是由于刘洪提高了所取朔望月、回归年、交食周期等有关数据的精度，
特别是近点月长度的厘定、月亮运动不均匀性改正计算方法的发明和应
用，这些都必然导致了食时预报精度的大幅度提高。
刘洪自然十分清醒地了解他的乾象历对食时预报所能达到的精度水
平，对此他是不满意的。大约在乾象历完成以后，他仍继续进行更深入的
研究，力图进一步完善食时预报的方法，以进一步提高精度。刘洪依乾象
历对一批交食食时的预推和实测记录之间的时间差作了认真的分析，他发
现该时间差的正负、大小，与交食所发生的月份有较稳定的关系，并归纳
出一年中各个不同月份应加（或减）的各不相同的时间修正值，此即所谓“消
息术”：在依乾象历推算得的食时的基础上，加（或减）该修正值，如规定
当交食发生在十一月份时，应加一辰，发生在七月份时需减一辰，等等，
便可得到更准确的食时。依“消息术”计算，上述公元221—223 年的5
次日、月食食时的误差为0。6 时辰，其精度较乾象历又有明显的提高。刘
洪的这一发现和相应方法，对于交食研究而言，具有毋庸置疑的重要意义，
可是令人惋惜的是，刘洪也许来不及对他的发现和所用方法的深层含义作
更多的思考和探究。其实，更准确一些说，刘洪应是发现了上述时间差的
正负、大小，与交食所发生的节气存在稳定的关系，而节气是太阳处于其
运行轨道上某一特定位置的标志，所以，产生上述时间差的主要原因，应
是太阳运动有迟有疾，也就是太阳运动的不均匀性。此外，我们知道：在
十一月份时，太阳视运动速度快，真切的食时应推迟一段时间；七月份时，
太阳视运动速度慢，真切的食时应超前一段时间，再对照上述“消息术”
的规定，应该说二者在总体上是相吻合的。这些情况都说明，刘洪的上述
发现和相应方法，实质上是大体正确地反映了太阳运动不均匀性对食时推
算的影响，刘洪实际上已经叩击了太阳运动不均匀性这一重大发现的门
扉，可是他并不自觉，未能迈出那关键的一步，而把这一重大天文现象的
发现权留给了在他以后300 余年的天文学家张子信。
对交食食分大小和交食亏起方位的预报，在刘洪以前未曾有人涉及
过。在乾象历中，也不见关于交食食分和亏起方位的明确计算法的记述，
而有关的明确记载首见于杨伟的景初历（公元237 年）中，于是史家多把其
发明权归于杨伟。可是，前已述及，在公元178 年，刘洪就曾成功地预报
过一次日食的食分（“三分侵二”）和亏起方位（“食从下上”），徐岳所说
殆非虚言，所以自然的推论是：刘洪应当早就有了计算交食食分和亏起方
位的方法。再仔细考察乾象历可以发现，其术文中关于交食食限的规定，
关于月亮距黄白交点前后度值的计算法，关于月亮极黄纬的计算法，关于
太阳位置的计算法，等等，实际上已经为交食食分和亏起方位的计算准备
了相当充分的条件。若再兼及刘洪与杨伟之间的师生关系，可以认为交食
预报的这二个要素的计算法的真正发明者应是刘洪，而杨伟则是对此作出
明确表述并加以发展的后继者，两人都做出了各自的贡献。
对于五星运动的研究，刘洪也取得了一些进展。如关于五星会合周期
的测算，东汉四分历和乾象历的结果分别为：木星，398。846 日和398。880
日（误差0。038 日和0。004 日）；土星，378。059 日和378。080 日（误差0。033
日和0。012 日）；金星，584。024 日和584。021 日（误差0。102 日和0。099
日）；水星，115。881 日和115。883 日（误差0。003 日和0。005 日）；火星，
779。532 日和779。485 日（误差0。405 日和0。452 日）。其中木、土二星的
会合周期以乾象历为优，金、水二星两历法旗鼓相当，火星则以东汉四分
历为胜。而从五星会合周期的总体水平看，乾象历要稍高于东汉四分历。
徐岳曾对乾象历和韩翊黄初历（公元220 年）的五星法进行过比较研究，他
发现分别依二法所推得的公元221—222 年间14 次行星见、伏时间与实测
时间或同或异，乾象历的结果是五疏、七近、二合，而黄初历的结果为八
疏、五近、一合，由此不难看出，乾象历的五星法应优于黄初历。此外，
杨伟和景初历行用约80 年后，人们发现其五星法的精度还不如乾象历，在
东晋以后，便以乾象历的五星法取代之，自此它一直沿用了百余年之久。
所以乾象历的五星法无论在当时，还是在其后较长一段时间内，都是较好
的和很有影响的。
综上所述，刘洪取得了一系列令人瞩目的天文学成就，这些成就以新
和精为显著特点，或是使原有天文数据精确化，或是对新天文概念、新天
文数据、新天文表格、新推算方法的阐明，它们大都见于乾象历中。这就
难怪郑玄称赞乾象历是“穷幽极微”的杰作，而唐代天文学家李淳风则十
分中肯地指出，乾象历是“后世推步之师表”（《晋书·律历志中》）。事
实确是如此，刘洪所发明的一系列方法成为后世历法的经典方法，他的乾
象历使传统历法的基本内容和模式更加完备，它作为我国古代历法体系最
终形成的里程碑而载入史册。
刘洪取得这些重大的天文学成就，与他所处的时代存在相当活跃的天
文历法研究环境有关，与他的前辈及同代人已经提出的新思想、新发现的
线索有关，同时与他个人的品质、思想和努力密不可分。
入东汉以来，人们对于月亮运动和交食的研究十分重视和活跃。东汉
早期的李梵和苏统已经明确建立了月行有迟有疾的观念，而且也给出了月
亮近地点进动的初始数值。此后，与月行迟疾有关的月行九道术便风行于
世。张衡和周兴在延光二年（公元123 年），宗整、冯恂等人在熹平年间（公
元172—178 年）都提出了各自不同的九道术，试图定量地描述月亮运动不
均匀的现象。对于交食周期的研究，先后有杨岑、张盛、景防（公元62 年），
编■（公元85 年），宗绀（公元90 年），王充（约公元90 年），刘固、冯恂、
宗诚（公元174 年）和王汉（公元179 年）等人，或者对原有周期进行某种修
正，或者提出全新的数值，试图提高交食预报的精确度。这些都为刘洪的
总结和提高准备了丰富的素材。在乾象历中，关于黄赤道宿度变换的计算
法，系采用了张衡研究的结果，这是刘洪吸取前辈研究成果的一个典型例
子。
刘洪十分积极而且审慎地参加当时天文历法界的有关论争，有时他是
作为参与论争的一方，有时则是论争的评判者，无论以何种身分出现，他
都取公正和实事求是的态度。公元174 年，一批天文学家各据自己的方法
预报了公元179 年可能发生的一次月食，冯恂以为三月，刘洪、刘固和宗
诚以为四月，宗绀以为五月当食。至期考验的结�