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发现十二平均律。朱载■称它为“新法密率”。他彻底探查了前人走过的
各种道路，自己又经过反复实验和摸索，终于使他领悟到从数理上旋宫的
可能性，并找到了解决它的科学方法。
朱载■设定清黄钟的弦长为1 尺，低八度的黄钟弦长为2 尺。也就是，
他按照中国传统，以弦线长度的比例2 为八度音高的数值。他摒弃了历代
惯用的三分损益法，而是将八度音程的弦长比开12 次方，得到■
=1。059463。。朱载■称这个数值为“密率”。或“应钟律数”。然后，他
又将八度值2 除以“密率”，累除12 次。这就得到了相应于平均律中八度
内12 个半音的音高数值。因此，朱载■的“新法密率”实际上就是以■为
公比的等比数列。
朱载■以文字叙述的方式将十二平均律的计算方法表述为
Tn ／Tn＋1 = 122，（n=0 ，， 12，。，12）
当n=0 时，T1 为黄钟；当n=1 时，T2 为大吕；。。当n＝12 时，T13
为清黄钟。在《算说新说》、《律吕精义·内篇·不用三分损益第三》中，
朱载■明白无误地表述了这个公式。他按照音高顺序，将倍、正、半共36
律的计算方法全都列出来了。其中的数字都是25 位数，而今天的袖珍电子
计算器也只有十位数。可见他作学问的认真和所费劳动之巨。
朱载■将十二平均律定义为：
“创立新法，置一尺为实，以密率除之，凡十二遍。”
“十二律黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端。。。是故各律
皆以黄钟。。为实，皆以应钟倍律数1．059463。。为法除之，即得其次
律也。”（省略号为25 位数字）
欧美国家近年出版的《新格罗夫音乐和音乐家辞典》和《物理学辞典》
分别将十二平均律定义为：“这个最简单的方法是要为半音选择一个正确
的比例，然后把它运用十二次。”“平均律的半音音阶在一个八度中有十
三个音，任何相邻两音之间的音程是■。”朱载■的概述和今天的观点何
其相似乃尔！
朱载■还将他的平均律数值运用到管上，提出了适合我国传统律管的
管口校正公式，并创制了我国历史上第一套按平均律发音的律管。他使十
三支管的长度和平均律各律数值相对应，并使各律管的内径随音高递增而
递减。其递减式为
dn/ 242 =d n＋1，（n=0 ，， 2
1 ，。，12）
其中为管内径。两个相邻律管的内径之比为d 242。这就是他的闻名的
“异径管律”。由于当管长与弦长一致时，管音决不会与弦音相同，因而
必须对管口作校正。朱载■冲破历代“同径管律”的束缚，采用缩小管径
的方法以达到校正管口的目的。其相邻两律管径的比例数是可以用今天的
数理声学推导出来的。中国的四大发明传到欧洲后，经过改良、发展而日
新月异。惟有朱载■创建的十二平均律，直到现在，人们只要照抄、照用
其计算结果，而不必自己再费心。
2．在数学和天文历法上的成就
朱载■的数学工作除在《律学新说》、《律吕精义》中有所反映外，
他还著有几种数学著作：《算学新说》、《嘉量算经》和《圜方勾股图解》
等。他清楚地认识到数学的重要性，把它比喻为创建新理论的“羽翼”。
虽然他在圆周率的计算方面不如祖冲之、刘徽精确，但他在数学上仍是有
所建树的一位科学家。
朱载■在创建十二平均律的同时，也是世界上第一个正确的解答等比
数列的人。在西方，数学家斯泰芬于1585—1605 年之间作出了同样的成
果，但比朱载■晚了5—25 年。
已知平均律中相差八度（数值为2）的首尾两个音的音高或弦长，要
以等比数列的方法计算其他十一个音，除了前述找出公比数之外，还可以
直接求解。在这样的一个等比数列中，设首项即倍黄钟为2，末项即正黄
钟为1，项数为12，如表1。朱载■在《律吕精义·内篇》中先解出了第
7项（蕤宾），即该等比数列的中项，其值为
2。对其他各项，他在《算
学新说》中写道：
“以黄钟正律乘蕤宾正律得平方积。。，开平方所得，即夹钟正律。”
（省略号为25 位数字，以下同。）
“以黄钟正律乘蕤宾倍律得平方积。。，开平方所得，即南吕倍律。”
“置夹钟正律以黄钟再乘，得立方积。。，开立方所得，即大吕正律。”
“置南吕倍律以黄钟再乘，得立方积。。，开立方所得，即应钟倍律。”
上引文中所谓“再乘”，即乘两次。第一段引文说明，由表1 中第1，7 两项而求第4 项；第二段引文说明，由第7，13 项而求第10 项。这些是
求解等比中项的方法。第三段引文说明，由1，4 项求第 2 项；第四段引
文说明，由10，13 项求第12 项。这些是在由四项构成的等比数列中，已
知首、末两项而求第二、三项的方法。朱载■虽仅列举了这几个求解法，
实际上是给出了求解任一等比数列的最基本方法，其他各项均可依此类
推。
为了统一历代音高标准，朱载■不仅深入研究了度量衡史，考察了历
代尺度的变化，而且以珠算演示了九进位和十进位的小数
表1朱载■关于等比数列各项的计算方法■
序号1 234 56
律名倍黄钟大吕太簇夹钟姑洗仲吕
计算2 32×
2× 2
2×22
方法
序号78 9
10
11 12
律名蕤宾林钟夷则
南吕
无射应钟
黄钟
1×
2
计算2
1× 2×12
方法
■从2 号到12 号皆为倍律，表中省略了倍字；从1 号到12 号也可以
皆为正律，则13 号为半黄钟。
换算方法。翻开《律学新说》的前几页，人们很难读懂其中有关“横黍尺”
和“纵黍尺”的文字。其实，就是九进尺和十进尺的相互换算问题。例如，
他计算了横黍尺（十进尺）9．43874 寸等于纵黍尺（九进尺）8。44067 寸；
或者，以尺为单位，可以写为0．943874=（0．844067），。读者不妨自
己试算一下，此不赘述。
朱载■在列举了不同进位数的大量的换算之后，还归纳出九进位数和
十进位数的换算口诀。不同进位制的相互换算问题，一般认为是从德国数
学家G．W．莱布尼兹（Leibniz）于1701 年发现二进制开始的。而朱载■
早在他前百余年就发现了不同进位数的换算方法。
值得指出的是，朱载■是用当时先进的数学工具算盘进行大量的音律
计算的。他的著作中，经常写道：置某数“在位”。就是将某数拨到算盘
的某位上。他还指出，进行开方计算并要列出25 位数时，必需特制一个有
81 档位的大算盘。他还详细地叙述了算盘开方的程序及口诀。朱载■的平
均律创建于1567—1581 年间，可见此时他已娴熟地运用珠算开方了。他是
我国珠算开方的首创者。
在天文历法方面，明代处于发展中的停滞时期。朱载■在无师传授的
情况下，以自己不倦的学习和探索精神，做出了某些超越前人的成就。他
编制了两种历法：“黄钟历”和“圣寿万年历”。通过比较授时历和大统
历的差异，根据先秦时期太阳位置的记载，他以大量的计算得到了回归年
长度每年消长0。00000175 日的精确值。该值的精确度超过了南宋杨忠辅和
元代郭守敬。由此他还建立了回归年长度古今变化的新公式，使该课题的
研究迈进了一大步。
朱载■还善于利用旧仪器进行新测量实验。元代郭守敬曾发明用以测
定南北方向的“正方案”仪器。朱载■却用它测得北京地理纬度为 40° 16′；测得北京地磁偏角为 4°48′。这是我国历史上留下的第一个有关地
磁偏角的定量记载，为研究地磁轴的历史变迁提供了极为宝贵的数据。
值得注意的是，朱载■制作了一些简易的模具以演示天象。他在《律
历融通》中写道：“尝造泥丸，中穿一索，外以粉涂之，悬于暗室中。以
灯照其侧，则半明半暗；照其前则全明，照其后则全暗，此弦望晦朔之象
也。方照其后，时若少偏，则虽不见粉丸之光，而犹见灯光；若不偏，则
灯光反为粉丸所掩，此日食之象也。方照其前，时若少偏，则背灯而观之，
全见粉丸之光；若不偏，则其光反为灯景所蔽，此月食之象也。”
宋代沈括、元代赵友钦都曾以黑球演示月食和月象变化，朱载■在此
基础上作了进一步发展。以此模具演示日食，是朱载■首创。在《律历融
通》中，他先后以三段文字描述了以泥丸演示天象变化。一个赤球，代表
日；一个白球，代表月；一个黑球，代表地。通过演示实验，他认为：（1）
日食随观察地点之不同会有不同的食分；（2）他在解释这一现象时，得出
了“日大而月小”的科学结论；（3）更有意思的是，他以三个球演示日月
食，可能表述了朱载■心目中的一种新的天地结构观。因为，这样的三个
球贯穿一索中的转动变化，令人惊讶地想到近代演示天体运动的中学教学
仪器交食仪。在西方传教士将近代科学带入中国之前出现的这三个球体，
是值得学术界重视的。
朱载■的科学贡献远不止这些。他是我国封建社会晚期一位最有创造
性的学者。他兼涉自然科学和艺术科学两大领域。他谱写了大量乐谱和充
满激情的歌词，制造了不少乐器，特别是制造了世界上第一件按平均律发
音的弦乐器（弦准）和定音器（律管），谱写了十二平均律的曲子。他还
探讨了不少乐器的发音规律和物理机制，研究了乐器史、音乐史。他还是
一个舞蹈设计家和理论家，是我国历史上舞谱的集大成者。他的舞谱比匈
牙利舞蹈家R．冯·拉班（von Laban）创作的舞谱要早300 多年。
朱载■是我国古代社会末期和近代社�