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观。”这些特点，使它成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播
发挥了不小的作用。
在数学理论上，《益古演段》也有创新。该书的问题同《测圆海镜》
不同，所求量不是一个而是两个、三个甚至四个。按古代方程理论：“二
物者再程，三物者三程，皆如物数程之。”应该用方程组来解，所含方程
个数与所求量个数一致。但解二次方程组要比解一元方程困难得多。李冶
既已完善了天元术程序，便力图提高它的一般化程度，用以解决各种多元
问题。他的主要方法是利用出入相补原理（即“一个平面图形从一处移置他
处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来
图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。”
吴文俊语）及等量关系来减少未知数，化多元为一元，找到关键的天元一。
一旦这个天元一求出来，其他要求的量就可根据与天元一的关系，很容易
求出了。
例如第三十五问：“今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地五千
七百六十步。只云从外田东南楞至内池西北角，通斜一百一十三步，其内
池阔不及长三十四步。问三事（指池长、池阔及圆径）各多少？”（图2）此
题欲求三数，若以方程组解之，须列出三个方程，一个可能的列法是：
设圆径为x，直池长为y，阔为z，则
ì 32 32
。 4x …yz = 5760；（ 圆面积=
4＇直径＇
。 x
y2 ＋ x2
= 113；
。 22
。z ＋ 34 = y
但李冶却设法避免了联立方程。
依本题法，设角斜为x，则圆径=x＋113，
四圆积=3（x＋113）2=3x2＋678x＋38307，
所以四池积=四圆积…4×5760
=3x2＋678x＋15267。（1）
因为池斜=113…x，
所以二池积=（113…x）2…342
=x2…226x＋11613，
所以四池积=2x2…452x＋23226。（3）
由（1），（3）消得
x2＋1130x…7959=0。
题中（2）式所用二积一较幂公式2ab＋（a…b）2=a2＋b2
图3
便体现了出入相补原理。这从李冶的条段图中可以看得很清楚，如图
3，四勾股形全等，每个勾股形勾b 股a 弦c。求出角斜后，易求圆径。从
圆积减去外计地，得池积，由长方形面积公式便可求出池长、池阔了。这
种方法显然比解三元方程组简便。
另外，李冶还在列方程时首创设辅助未知数的方法。第四十问中得到
方程
…22。5x2…648x＋23002=0
后，李冶为了使最高项系数的绝对值变为1，便作如下变形（译文）：
设y=22。5x，则上式变为
…y2…648y＋517545=0。
开方，得
y=465，
所以
x = 20
23
。
李冶称这种设辅助未知数的方法为连枝同体术。顾名思义，他是把辅
助未知数看作与原方程连为一体的一个分枝。这种方法在代数学史上是有
意义的，因为它提供了方程变形的一个有力工具。
此题的另一种解法是首先“立天元一为三个内池径”，这相当于设
y=3x。李冶称此法为之分术，实际也是一种设辅助未知数的方法，也能起
到简化方程的作用。依法演算，得
…2。5y2…216y＋23002=0。
两种方法的区别在于：之分术把设辅助未知数的步骤放于题首，而连
枝同体术把这一步骤用于方程变形。
《益古演段》的成书，为天元术的应用开辟了更为广阔的道路。砚坚
称赞此书说：“颇晓十百，披而览之，如登坦途，前无滞碍。旁溪曲径，
自可纵横而通。。真学者之指南也。”《测圆海镜》是天元术的代表作，
而《益古演段》是普及天元术的杰作。两书相辅相成，互为表里，反映了
作者既努力提高数学的一般化程度，又注意发挥其社会效益的精神。
李冶死后不久，天元术理论便经过二元术、三元术，迅速发展为朱世
杰的四元术。如果说在李冶手中，天元术已成为参天大树，那么在李冶之
后，这棵大树便在第二代数学家的培育下，结出了四元术的累累硕果。
纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模。
他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟。据载，
钧州城的出纳“无规撮之误”。在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官
确实是难能可贵的。李冶在《敬斋古今■》中说：“好人难做须著力”，
又说：“著力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照。他同情人民，
面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见
忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”。他一生热爱科学，追求自由，决
不负辱求名。在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚。他虽是通
儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是
对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”。
当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把
数学说成“九九贱技”。李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱
熹的著述中“窒碍之处亦不可以毛举也”。
值得注意的是，李冶的思想深受道家影响。道家崇尚自然，这无疑是
有利于把人们的眼光引向自然科学的。老庄的自然观甚至成为李冶抵制唯
心主义理学的思想武器。他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，
亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？”
（夷，黄帝臣名；夔，舜臣名。石，扁，均为古工匠名）这就是说，从技艺
用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然
规律（即“道”）来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的。如果我们把李
冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也。。。道之所在，圣人尊之”
联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的。很明显，他认为数学这
种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重。
李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，
斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫
昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”李冶的这一思想，
也可以从老庄学说找到渊源。庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形。”
老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，
夫莫之命而常自然。”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数
一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自
然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者
矣。”
李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽
强的科学研究。他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要
为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的工作。他的学生焦养
直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日
废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”。另外，他还善于
去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多
不若取之之精，取之之精不若得之之深。”这些优良品质，都是李冶在学
术上取得杰出成就的重要原因。
李冶时代，数学不受重视。但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海
镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。
乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而
且致力于传徒授业，对学生循循善诱。后人盛赞李冶“导掖其秀民，仁之
至也。其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”（文正为李冶谥号）。李冶
以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念
着。
文献
原始文献
＇1＇（元）李冶：测圆海镜细草，《知不足斋丛书》本，1798。
＇2＇（元）李冶：益古演段，《丛书集成》本，商务印书馆，1936。
＇3＇（元）李冶：敬斋古今■，《丛书集成》本，商务印书馆，1935。
＇4＇（元）李冶等：敬斋古今■附录，《藕香零拾丛书》本，1895。
＇5＇（周）老聃：老子·第二十五章、五十一章，见中国社会科学院哲学
研究所中国哲学史研究室编《中国哲学史资料选辑·先秦之部》，中华书
局，1964。
＇6＇（周）庄周：庄子·秋水、渔父，见陈鼓应《庄子今注今译》，中华
书局，1988。
＇7＇（魏）刘徽注：九章算术·卷八、卷九，见钱宝琮校点《算经十书》，
中华书局，1963。
＇8＇（元）朱世杰：算学启蒙·卷下，据（朝）金始振藏本重刊，1839。
＇9＇（金）元好问：元遗山先生全集·卷首、卷十七，读书山房刻本，1881。
＇10＇（明）宋濂：元史，中华书局，1976。
＇11＇（元）脱脱等：金史，中华书局，1975。
＇12＇（元）苏天爵：元朝名臣事略·卷十、卷十三，中华书局影印元刊
本，1962。
研究文献
＇13＇（清）胡岳：元氏县志·卷十一，1875。
＇14＇（清）陈■：栾城县志·卷二、卷六、卷十一，1873。
＇15＇（明）唐雷礼：真定府志·卷二十七，明刻本。
＇16＇孔国平：李冶传，河北教育出版社，1988。
秦九韶
何绍庚
秦九韶字道古。普州安岳（今四川安岳）人。南宋嘉泰二年（1202
年）生；约景定二年（1261 年）卒于梅州（今广东梅县）。数学。
秦九韶祖籍鲁郡（今河南范县），其父秦季■，字宏父，绍熙四年（1193）
进士，后任巴州（今四川巴中）守。嘉定十二年（1219）三月，兴元（今陕西汉
中）军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州（今广元）、阆州（今阆中）、
果州（今南充）、遂宁（今遂�