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冶对各种事物的见解。《敬斋古今■》则是一本读书笔记，“上下千古，
博极群书”，在文史方面颇有独到见解。另外，李冶作过不少诗，其中有
五首保存在《元诗选癸集》中。从这些诗来看，李冶的文学造诣相当深。
李冶还著有《文集》40 卷与《壁书丛削》12 卷，均已失传。
李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》。他在弥留之际
对儿子克修说：“吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽
九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者。庶可布广垂永乎？”
李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但
还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤劳动，
使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。
天元术是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”与今“设
x 为某某”是一致的。在中国，列方程的思想可追溯到《九章算术》，书
中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。到唐代，
王孝通已能列出三次方程，但他不懂天元术，完全用几何方法推导方程，
所以需要高度技巧，不易被一般人掌握。实际上，宋代以前的方程理论一
直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数通常是表示面积、体积
等几何量的；方程次数不高于三次，因为高于三次的方程就难于找到几何
解释了。经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题被基本
解决。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种一般的、能建立任意次方
程的方法，天元术便应运而生了。但在李冶之前，天元术还比较幼稚，记
号混乱，演算烦琐。从稍早于《测圆海镜》的《钤经》（石信道撰）来看，
天元术的作用十分有限，因为数学家们的思维方式基本上是几何的，只是
在用几何方法无法计算时，才偶尔用一下天元术。李冶致力于创造一种简
便的、适用于各种问题的列方程方法。他认识到，只有摆脱几何思维束缚，
建立一套不依赖于具体问题的固定程序，才能实现上述目的。在洞渊、石
信道等天元术先驱的工作基础上，他终于总结出一套简单明确的列方程程
序：首先立天元一，这相当于设未知数x；然后寻找两个等值的而且至少
有一个含天元的多项式；最后把两个等值多项式联为方程，通过“相消”，
化成标准形式
anxn＋an…1xn…1＋。＋a0=0。
李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作。该书把勾股容圆■
图1 圆城图式
（切圆）问题作为一个系统来研究，讨论了在各种条件下用天元术求圆
径的问题。卷一的圆城图式是全书出发点，书中170 题都和这一图式有关。
为了叙述方便，我们在各勾股形直角顶点处标上数字（图1）。卷一的另一
部分“识别杂记”阐明了各勾股形边长之间的关系及其与圆径的关系。识
别杂记共600 余条，每条可看作一个定理（或公式），其中最重要的是下面
十个圆径公式：（D 表直径，r 表半径，a，b，c 表勾、股、弦）
11
（） D2 = a11 ×b10； 2 D2 = a10×b11；
1 （）
22
12 12
（） D = D13×b1； 4D = b13 ×a1；
3 （）
22
（ ） r2 = b ×b ； 6r2 = a14 ×a3；
5 （）
（7）D2=b4×（2） a5； （15） （8）r2=b7×a3；
（9）r2=（c14＋b14）（c15＋a15）；
（10）r2=（c14＋a14）（c15＋b15）。
卷二及以后各卷都是算题。下面以卷四第六问为例，说明李冶怎样用
天元术解题。左边是原文，右边是译文。（原草为一整段，这里为叙述方便，
分成若干段。）
或问乙出东门，南行不知步数而立。甲出北门，东行二百步望见乙，
复就乙斜行一百七十步与乙相会。问答同前。草曰：（1）识别得二行相减，
余三十步，即乙出东门南行步也。
（2）立天元一为半城径。
（11）以平方开之，得一百二十步，倍之即圆径也，合问。
已知a3=200，c11=170。求D。
由识别杂记，b15=a3…c11=30。
设半城径为x。b11=x＋b15=x＋30。
a11=a3…x=200…x。
a1=a3＋x=200＋x。
因为△1∽△11，
a1×b11
所以b1=
al1
x2 ＋ 230x ＋ 6000
=
200
2b10=2（b1…2x）（x）
2＇x 2 ＋ 230x ＋ 6000 …2x（200 …x）＇
=
200 …x
6x2 …340x ＋ 12000
=
200 …x
因为
12D2 =b 10 ×a11，
所以D2=2b10×a11=6x2…340x＋12000。
又因为D2=（2x）2=4x2，
所以4x2=6x2…340x＋12000。
移项，合并同类项，得
2x2…340x＋12000=0。
化简，得
x2…170x＋6000=0。
解方程，得x=120。
所以D=2×120=240。
由于摆脱了几何思维束缚，李冶在方程理论上取得许多进展：第一，
改变了传统的把实（常数项）看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘
泥于它的几何意义。例如，卷六第四问所得方程为
…x2…72x＋23040=0，
第七问所得方程为
…x2＋640x…96000=0，
两题常数项的符号恰好相反。实际上，《测圆海镜》中方程各项的符
号均无限制，这是代数学的一个进步。
第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。书中170 题，有19
题列出三次方程，13 题列出四次方程，还有一题列出六次方程。在李冶这
里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三次方也并非代表
体积。
第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个
整式的方法化分式方程为整式方程。
第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因
子xn（n 为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一
次数。这一作法相当于用xn 去除方程各项。在《测圆海镜》中，李冶采用
了从○到九的完整数码。除○以外的九个数码古已有之，是筹式的反映。
但筹式中遇○空位，没有符号○。从现存古算书来看，李冶《测圆海镜》
与秦九韶《数书九章》是最早使用○的两本算书，它们成书的时间相差不
过一年。另外，李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法。李冶的负
号与现在不同，是画在数字上的一条斜线，通常画在最后一位有效数字上，
7。59875 尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝。李冶则取消数名，完全用数
码表示小数，纯小数于个位处写○，带小数于个位数下写步，如0。25 记作
小数记法还很笨重。例如比利时数学家S。斯蒂文（Stevin）在1585 年发表
的著作中，把每位小数都写上位数，加上圆圈，如27。847 写作27◎8①4
②7③， 这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17世纪，J． 纳皮尔（Napier）
发明小数点后，小数才有了更好的记法。至于负号，在国外是德国人于15
世纪首先引入的。
由于李冶掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符
号表示，从而改变了用文字描述方程的旧面貌。但这时仍缺少运算符号，
尤其是缺少等号。这样的代数，可称为“半符号代数”，它是近代符号代
数的前身。大约300 年后，类似的半符号代数也在欧洲产生了。
《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上
也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义、定
理、公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。
李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章（卷）内容大体上平列。李
冶以演绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。
《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响。元代王
恂、郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度。不久，沙
克什用天元术解决水利工程中的问题，收到良好效果。元代大数学家朱世
杰说：“以天元演之，明源活法，省功数倍。”清代阮元说：“立天元者，
自古算家之秘术；而海镜者，中土数学之宝书也。”
《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作，但内容较深，粗
知数学的人看不懂。而且由于理学思想的影响，数学不受重视，所以天元
术的传播速度较慢。李冶深刻认识到天元术的重要性，于是便在封龙山教
学的同时，着手写一部普及天元术的著作。李冶曾读过北宋数学家蒋周的
《益古集》，内容多为二次方程，列方程的方法则是几何的。李冶用天元
术对此书进行研究，写成《益古演段》3 卷。如果说《测圆海镜》是为数
学家写的，那么《益古演段》就可能是为他的学生写的。
《益古演段》全书64 题，处理的主要是平面图形的面积问题，所求多
为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外，全是二次方程问题，
内容安排基本上是从易到难。李冶在完成《测圆海镜》之后写《益古演段》，
他对天元术的运用自然会更加熟练。但他却没有像前者那样，完全用天元
术解题。书中新旧二术并列，新术是李冶的代数方法——天元术；旧术是
蒋周的几何方法——条段法，这是一种图解法，因为方程各项常用一段一
段的条形面积表示，所以得名。该书揭示了两者的联系与区别，对我们了
解条段法向天元术的过渡、探讨数学发展规律有重要意义。书中常用人们
易懂的几何方法对天元术进行验证，这对于人们接受天元术是有好处的。
该书图文并茂，深入浅出，不仅利于教学，也便于自学。正如砚坚序中的
评价：“说之详，非若溟■黯淡之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足
观。”这些特点，使它成为一本受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播
发挥了不小的作用。
在数学理论上