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简化，在微积分传入中国之前有积极作用并在中国数学史上产生一定影响。
戴煦 （1805—1860）也有《割圆捷法》二卷。他一生的最后几年中，声
名日著，已可与董祐诚、项名达、李善兰等人相提并论。
李善兰在他所著的《方圆阐幽》一书中，发明了尖锥术，具有解析几何
的启蒙思想，得出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开
式，各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也
是19世纪中国数学界最重大的成就。
李善兰的尖锥理论，如果用最通俗的语言来表述，就是他首先把一个自
然数n用一个平尖锥的图形来表示，如果这个数是一个平方数，就用一个立
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尖锥来表示，如果这个数是一个立方数就用一个三乘尖锥来表示，但是，在
表示乘方数的时候，尖锥的上面就由平体变成了凹形，乘方越多，凹的就越
厉害。
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然后，李善兰把这个尖锥体的乘方数x用线段来表示，把这个尖锥体迭
积成n乘的尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线
组成。乘数愈多，也就是说幂次愈高，尖锥曲线的凹就愈甚。
李善兰在《方圆阐微》中，还采用了一种叫做“分离元数”的方法，归
纳出一个二项平方根展开式，然后在四分之一单位圆内应用尖锥术就可以计
算出一个方内圆外尖锥的合积，从而获得圆周率π的无穷级数值。
李善兰还在《弧矢启秘》一书中，采用方内圆外的“截积”与尖锥合积
的关系得到“正弦求弧背”，也就是反正弦的幂级数展开式，然后用直除、
还原等方法得到其他很多的三角函数和反三角函数的幂级数展开式，特别是
正切、正割、反正切、反正割的幂级数展开式是在中国首次独立地得到的。
李善兰又在他的《对数探源》一书中列出了10条命题，从各个方面描述
对数合尖锥曲线的性质，然后，根据这些性质就可以得出对数的幂级数展开
式的。
李善兰创立的尖锥面，是一种处理代数问题的几何模型。它由互相垂直
的底线、高线和凹向的尖锥曲线组成。并且在考虑尖锥合积的问题时，也是
使每个尖锥有共同方向的底线和高线。这样的底线和高线具有平面直角坐标
系中的横、纵两个坐标的作用。
而且，这种尖锥面是由乘方数渐增渐迭而得。因此，尖锥曲线是由随同
乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李善兰
把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，这实际上就给出了这些尖
锥曲线的代数表示数。
李善兰的尖锥求积术，实质上就是近代数学中的幂函数的定积分公式和
逐项积分法则。
我们之所以在以上对董祐诚、项名达、戴煦、徐有壬、李善兰等人的数
学成就作了简明的介绍，目的是说明明安图的数学思想，对我国19世纪数学
发展有很大影响。
明安图的数学思想，最通俗地讲，就是在数学中应用解析法的思想。19
世纪，我国的数学家就是继续使用和发展了明安图的解析法。当时西方已经
创造出了微积分，但是微积分还没有在我国流传。从明安图开始，到19世纪
的数学家为止，我们是通过自己独立地数学研究获得了不少积分学方面的成
果，形成了我们自己的学派的。
当然，从我国19世纪数学发展的总成果来说，还是比不了西方先进的数
学的，但是，我们能够独立地进入近代的高等数学领域，是十分难能可贵的。
正是由于以上的事实，我们可以看出来，明安图在我国近代的数学史上，
具有一种非常重要的地位。
明安图在他的《割圆密率捷法》一书中所取得的解析法的成就，如果我
们打一个比喻，就好比在茫茫的荒野中种下了一棵树，当然，如果不断地给
这棵树浇水、施肥，这棵树就会不断地长大，直至长成一棵参天大树。反过
来说，如果没有人去理它，也许这棵树会慢慢枯萎、发黄，直至死去。
然而，既使一棵树苗长成了参天大树，但独木终不能成林，如果有人把
树苗一棵棵不断地种下去，这个地方就会慢慢地从一片荒野变成一片郁郁丛
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丛的大森林。
19世纪，在我国数学领域内，就出现了这样的一片森林，但永远不要忘
记，是明安图在数学解析法这片土地上，种下了第一棵树苗。
十、由明安图引起的反思
明安图对中国古代数学、天文学和地图测绘学都作出了杰出的贡献。
其实，早在明安图以前很久，数学、天文学和地图测绘学就在我国产生
了。
商朝（公元前16世纪—前8世纪）时期，我国就产生了一个叫做“高”
的数学家，因为他生在商朝，所以历史上把他叫做商高。商高在世界上首次
提出了直角三角形各边的平方关系，后人称之为商高定理。在西方，大约在
公元前531年，才由一个叫毕达哥拉斯（公元前572—前497）的人提出了同
样的定理，西方人把它称之为毕达格拉斯定理。
商朝人已经具有了相当的天文知识。在甲骨文中，已有了鸟星、火星等
星名。这两个星是测定春分和夏至季节的重要标志。还有关于日蚀、月蚀的
记录，关于风、雨、云等记录，有了较完善的历法。
西周时期，在《诗经》中，已经有了火、箕、斗、牛等星宿的名称。
春秋时期，已有了冬至、夏至、春分，秋分、立春、立夏、立秋、立冬
八个节气，并能准确地推算出冬至的日期。在《左传》中，已经有了我国最
早关于冬至日的记录，出现了夏历。
战国时期，已有了角、亢、氐、房等二十八个星宿的名称，是我国最早
的天文坐标图，是我国古代天文学研究的一项重大成就。公元前4世纪中期，
魏国人石申夫作 《石氏星经》，与他同时的楚国人甘德作《天文星占》，较
精密地记录了黄道附近120个恒星的方位和这些恒星距北极的度数，并发现
了金、木、水、火、土五大行星运行的规律。他们测定的关于恒星的记录，
是世界上最古的恒星表。
西汉中期成书的我国古代第一部算学著作 《周髀（bì）算经》使用了相
当复杂的分数算法和开平方法，勾股定理，这部书是我国现存文献中最早引
用勾股定理的著作。
东汉前期的《九章算术》标志着我国古代数学体系的形成，特别是书中
的负数、分数计算，联立一次方程解法等，是具有世界意义的成就。
两汉时期，有了宣夜、盖天、浑天三种天体结构学说。特别是浑天说，
对我国古代天文学的影响很大。
东汉时期，出现了张衡这样伟大的科学家，撰《灵宪》一书，比较正确
地阐述了许多天文现象，作浑天仪、候风仪和地动仪，对我国古代科学发展
作出了巨大的贡献。
公元3世纪的刘徽，在其《九章算术注》（263）中用割圆术来计算圆周
率，推算出π＝3。1416，把圆周率求到小数后第四位。
祖冲之 （429—500）进一步求出圆周率π的值在3。1415926和
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3。1415927之间，并提出了π的约率 和密率 ，这个密率值要比欧洲早一
7 113
千多年。
祖冲之编制的大明历，规定一年为365。2428天，是我国宋代《统天历》
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（1199）以前最好的一个数据。
西晋的裴秀 （224—271）在其《禹贡地域图序》中已提出了比例尺、方
位，距离等“制图六体”，这些原则直到明末一直为我国制图者所遵循。
隋朝刘绰（544—610）造《皇极历》，是当时最精确的历法，确定岁差
为76年差1度，已接近了准确值 （83年），当时欧洲还采用100年差1度
的数值。耿询造用水力推动的浑天铜仪，在马上使用的刻漏（计算时间的仪
器）。
唐朝一行 （683－727）在世界上第一次发现了恒星移动现象，比英国人
哈雷（1656—1742）发现恒星移动几乎早一千年。他在河南实际测量地球子
午线，算出每1度长351里80步，是世界上第一次实测子午线的记录。他同
梁令瓒合作制成了水运浑天铜仪，是世界上最早的用机械转动的钟。他还编
成了一部先进的历法——《大衍历》，后代修历大都仿效这部历法的格式。
元代的郭守敬（1231—1316）修成的《授时历》是中国古代最优良的一
部历法，其所确定的一年为365。2425日，同现代通行的公历相同，但要比它
早出三百年。
但是，到明清时期，我国的科学技术水平，在总体上却落到了欧洲的后
面。
欧洲在文艺复兴时期，出现了一些像伽利略（1564—1642）这样伟大的
科学家，特别是在17世纪，出现了牛顿以后，开始了真正的近代科学。
牛顿在力学方面，总结出机械运动的三个基本定律，发现了万有引力定
律，创立了经典力学体系，正确�