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卷草稿。
大约在1763年11月7日以后，明安图已经病危，准备托付后事。
明安图的儿子叫明新，字景臻，青年时代在钦天监当天文生，后来任“钦
天监五官灵台郎”。他由于受到较好的教育，再加上长期工作锻炼，所以天
文学、数学方面也有很好的造就。
明安图还有两个学生，一个叫张肱，字良亭，曾经在钦天监担任过夏官
正职务。另一个叫陈际新，字舜五，在钦天监也担任过灵台郎，后来升任监
正。他俩都精通数学，特别是陈际新为当时著名数学家，在天文学方面著有
《北极高度表》一卷。
明安图把明新叫到病榻之前，把《割圆密率捷法》手稿交给他，并让他
转嘱陈际新等人说：
这部手稿是 《割圆密率捷法》。里边有圆径求周，弧背求弦，求矢三种
方法，原来是西洋人杜德美所著，是古今没有的数学公式。本来向同行们公
开，可惜只知道它们的结果而不清楚它们的来源，我怀疑杜德美有意保留了
最主要的东西。我多年以来对它们进行了研究，只是没有完成这项工作。你
和同行们一定要把它完成，这是我的一个志向啊。
明安图说完以后不久，就与世长辞了，享年约72岁。
七、 《割圆密率捷法》的问世
陈际新遵照明安图的遗嘱，认真地整理了老师的遗著，在整理过程中经
常与明新、张肱反复进行讨论，明新、张肱还帮助推算和校对，在1774年完
成了 《割圆密率捷法》这部著作。
明安图的《割圆密率捷法》由陈际新等人整理成书后，这部书稿被一个
叫张敦仁的人收藏起来，没有刊印发行。当时反有抄本流行，首先是李潢（？
—1811）、戴敦元（1773—1834）等数学家从陈际新处抄录副本。
1807年，著名数学家汪莱（1768—1813）在家乡安徽歙县参加考试，以
优行第一的成绩考取了八旗官学教习。到北京后，他被选入国史馆参与纂修
天文、时宪二志的工作。在此期间，他曾读到《割圆密率捷法》抄本。
1819年春，另一位数学家董祐诚（1791—1823）客居北京，常与秀水朱
鸿讨论数学，朱鸿以《割圆密率捷法》的抄本出示给董祐诚，董祐诚据此撰
写了三卷本的《割圆连比例图解》一书。
汪莱和董祐诚等人虽然看到《割圆密率捷法》原稿的抄本，却不知道此
书是明安图所撰，而是笼统地冠以“杜氏九术”的名称。
1821年，罗士琳（1789—1853）又从戴敦元那里影抄一本，1839年岑建
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功根据传抄本刊印出版，人们才了解到“杜氏九术”是明安图的成果，《割
圆密率捷法》才得以广泛流传
八、 《割圆密率捷法》的数学奥妙
明安图的《割圆密率捷法》究竟隐藏着那些数学奥妙呢？
《割圆密率捷法》共分4卷：
卷一《步法》：罗列出所得到的各无穷级数公式，其中公式（1）至公式
（3）是杜德美传进来的三个级数，分别叫做“圆径求周”、“弧背求正弦”
和“弧背求正矢”，这三个公式前边已经列出，这里不再重复。公式（4）至
公式（9）是明安图发现的六个无穷级数。这些级数都是弧、弦和正弦之间的
互求问题。这六个级数也各有名称。其中的“弧背”就是弧，“通弦”就是
弧所对的弦。
（4）弧背求通弦
（2a）3 （2a）5 （2a）7
C
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1 1 1
2 4 6
versx
… Page 14…
级数回求法是一种求反函数展开式的有效方法。明安图的工作在数学原
理方面体现的是一种曲直互通的思想，体现的是从有限到无穷的认识上的飞
跃。
明安图在求证上述公式中，想了许多办法，避免繁杂的数值计算，但是
仍有相当多的计算，而且十分复杂，一般的是二三十位的数值计算，多的达
到三十六七位数字，然而，他的计算能力却是相当强的。
九、明安图在中国近代数学史上的地位
明安图所提出的六个无穷级数中，有的是世界数学史上较早的记录，譬
如公式 （8），在欧洲最早是由瑞士数学家欧拉（1707—1783）在1737年给
伯努利（1700—1782）的一封信中提出来的，但直到1817年这一公式才由另
外的人公开发表。明安图发现公式（8）几乎与欧拉同时，而又是独立发现的。
明安图在《割圆密率捷法》中提出了级数收敛的问题。关于级数收敛问
题的考虑，在欧洲也刚在开始，是当时一种很先进的思想，而正式的研究是
欧拉和勾犀（1789—1857）开始进行的。
明安图用30年的辛勤劳动研究数学中的一个分支——无穷级数，撰成
《割圆密率捷法》，用来解析出九个公式，并由连比例三角形入手，有所发
现，取得成就。他的工作在我国数学领域中放有异采，他的数与形的结合，
可以与欧洲人笛卡尔创立解析几何相媲美，他那种科学的，不辞辛勤劳苦的
研究精神，很值得后人学习和表彰。
日本已故的数学史家三上义夫也曾称赞明安图说：
圆理发达是最紧要的事件，可以与西方的定积分相比，他的算法则始于
所谓杜氏九术……可是虽然说是九术，实际只有三术，被梅瑴成收录在《赤
水遗珍》中，三术用无限级数，表示三角函数，虽然有相当于公式的结果，
但不具备解释的方法。到蒙古族人钦天监监正明安图，用三十多年的辛劳，
才考证出解析的方法，而且又创造了六术。
英国的著名中国科技史专家李约瑟博士也对明安图的成就给予了较高的
评价。
杰出的蒙古族科学家明安图把自己的一生献给了科学事业。他在继承和
发展祖国传统文化的同时，积极吸收外国科学的长处，为丰富祖国科学文化
宝库做出了不可磨灭的贡献。在当时清政府实行闭关锁国政策的历史条件下
能做到这一点，是更加难能可贵的。
明安图在中国数学史上影响了董祐诚、项名达、戴煦（1805—1860）、
徐有壬、李善兰 （1811—1882）等一大批数学名家，创立了无穷级数研究的
一个相当活跃的局面，人才辈出，成果累累。正是在明安图的影响下，中国
学者在这一领域运用具有传统数学特色的方法，基本上解决了三角函数、对
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数等初等函数的幂级数展开式问题，其中包含了某些微积分思想的萌芽，从
而为顺利接受笛卡尔（1596—1650）、牛顿、莱布尼茨（1646—1716）创立
的解析几何、微积分等近代数学知识，推动中国数学从常量数学到变量数学，
从初等数学到高等数学的发展，奠定了重要的思想基础。
如前所述，董祐诚根据明安图的《割圆密率捷法》写成了《割圆连比例
图解》。
《割圆连比例图解》共3卷，该书主要结果是4个展开式，即：
第一：有通弦，求通弧加倍几分之通弦；
第二：有矢，求通弧加倍几分之矢；
第三：有通弦，求几分通弧这一通弦；
第四：有矢，求几分通弧之一矢。
董祐诚用一种叫“连比例四率”的方法并结合中国传统数学的垛积求积
术求得第一、第二两式，又以级数回求法求得第三、第四两式。
《割圆连比例图解》3卷在明安图的工作之后而在项名达（1789—1850）
与徐有壬（1800—1860）的工作之前，有继往开来之功。
董祐诚的4个式子称为董氏四术，而明安图的9个式子称为明氏九术，
董氏四术为明氏九术的“立法之源”，即由董氏四术可推得明氏九术。
项名达《象数一原》（1843）将董氏四术精确化并概括为二术。并在明
安图的启发和影响下，进一步解决了椭圆形的周长计算问题，把我国古代传
统的割圆术，发展到应用于椭圆的新高度。
徐有壬的代表作是《割圆八线缀术》4卷（其中有部分结果已在他的《测
圆秘率》中发表）。
《割圆八线缀术》的主要内容是给出8线互求12式，大小8线互求18
式总列于卷四。
徐有壬是在杜德美、明安图、项名达、李善兰的研究基础之上，求出π、
sina、versa展开式的其余9式，即8线互求12式。
卷二是这8线12式的推导过程。
徐有壬还在董祐诚“董氏四式”的基础上给出大小8线互求18式。
卷三是大小8线互求18式的推导过程。
徐有壬称之为缀术的幂级数表示法是一个创新。
缀术以汉字数目字一、二、三等等表示率数，以侧书的汉字数目字表示
级数各项的分母，以暗码表示分子，并按固定格式进行四则运算。
徐有壬的《割圆八线缀术》4卷是三角函数幂级数展开式传入中国以来
该项研究的一个比较系统的总法。所给8线互求12式，大小8线互求18式，
使得三角函数展开式大体完备。所创半符号式的缀术使得幂级数的表示得以
简化，在微积分传入中国之前有积极作用并在中国数学史上产生一定影响。
戴煦 （1805—1860）也有《割圆捷法》二