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第3篇首先论述了关于圆锥曲线的切线与直径 所成图的面积定理，
接着又论述了极点和极线的所谓调和性质。如图6。16，TP与TQ是圆锥
曲线的切线， 直线TRIS过T并与圆锥 曲线相交于R与S，与PQ相交
于I，则有：
TR IR
TS
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阿波罗尼乌斯对圆锥曲线的创造性研究及理论的系统化工作是极有
价值的，特别是对后来天文学、力学的发展起到了积极的作用。对此，
英国科学家贝尔纳高度评价道：“他的工作如此的完备，所以几乎二千
年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。”①
阿波罗尼乌斯除了《圆锥曲线》这部巨著之外，还有其它一些数学
著作。其中二本书中，各有一个对后世有较大影响的问题。一个是在《论
切触》这本书中，阿波罗尼乌斯讨论了作一个圆与三个给定圆相切的问
题，这在当时算是一个比较难的问题，以致成为一道历史名题，称之为
“阿波罗尼乌斯问题”。这个问题引起许多数学家的注意，像韦达、欧
拉和牛顿这样著名的数学家都给出过这个问题的解。另一个是在《平面
轨迹》这本书中，阿波罗尼乌斯给了一个定理：“如果A和B是两个固
定点，K是一个给定的常数，则使AP/BP=K的点P的轨迹是一个圆（如果
K≠1）或是一条直线（如果K＝1）。这个定理中的圆，在有些教科书中
被称为“阿波罗尼乌斯圆”。
（9）亚历山大前期的算术和代数
从毕达哥拉斯学派开始，到欧多克斯将数与量加以区分，古希腊的
数学偏重于几何学，古希腊的几何学产生了巨人和巨著。与几何学相比，
算术和代数的发展是相当缓慢的。
记数制在亚历山大前期有了一些发展，阿基米德和阿波罗尼乌斯发
明了两种记大数的方法。阿基米德在《数砂术》中，提出了一种写大数
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的方案。他取当时希腊数学里最大的数“万万”，即10作为记数的一个
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新单位，由此出发又可以往下记出一系列大数，可到 10。这样不断增
大，可以记下去表示出任意大的数。阿基米德估计宇宙间砂粒数目要小
4
于他能写的最大数。阿波罗尼乌斯也有类似的方法，只不过他是取 10
为一个记数单位。但这还没有能达到10进位的位值制。这一时期，古希
腊的天文学家则在分数中分母用60进制。
在亚历山大前期的数学家之前，古希腊的数学家只把分数当作整数
之比，实际的分数只是在商业上才有意义，那是为了表示钱币或度量单
位的若干部分，这种数学的实际应用被排斥在数学研究的范围之外。但
是，到了亚历山大前期，情况有了一些变化。一些数学家开始从追求完
美而转向注意实际应用，并使这种转变体现在数学的研究中。欧几里得
在 《几何原本》中，对分数给出了定义，但没有给出运算方法。阿基米
德在他的《圆的度量》中，对大数和分数进行了运算，他得出 3的
很好的近似值。
1351 265
＞ 3＞
780 153
古希腊代数著作是纯粹用文字形式写出的，到亚历山大前期，代数
的重大进展是产生了代数符号。欧几里得在《几何原本》中曾用字母表
示一类数，阿基米德在讨论运动时也曾经用字母表示一段时间或一段距
离。但是，他们并未认识到字母表示对于代数进一步发展的重大意义。
因此，他们的工作停留在初步和零散的状况。真正系统地提出代数符号，
那已是公元3世纪的事了。
① 贝尔纳：《历史上的科学》，科学出版社1959 年版，第124 页。
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3。中国古代数学知识的积累
（1）四则运算和筹算
在殷墟甲骨文卜辞中，已有很多记数的文字，当时已采用了十进位
制。到了春秋时期，记录大数已经用亿、兆、经、姟等字表示数字的十
进单位。
春秋战国时期四则运算方法已趋完备。如战国初年李悝的《法经》
中，已讲到了减法、乘法和除法。不少先秦典籍中都有乘法口诀的例句，
但到春秋战国时期才有不完全的记载。 《夏侯阳算经》说：“乘除之法
先明九九”。因当时的乘法口诀是从“九九八十一”起到“二二如四”
止，共36句；口诀以“九九”二字开头，故将乘法口诀称为“九九”。
中国古代用算筹作为记数工具，并由此发展起一种独特的计算方
法，即筹算。算筹就是一些径约一分、长约六寸（合现在13。8厘米）的
小竹棍；利用算筹在案上摆成数字进行计算，就叫筹算。表示数目的算
筹有纵横两种筹式：用筹来表示一个多位数字，其方法就像现在用数码
记数一样，把各位的数目纵横相间地从左到右横列，个位用纵式，十位
用横式，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式；数字中遇有零时，
就用空位表示。如86032，其筹式为 ，百位上空位不放算筹。由
于筹式用的是“十进位值制”，不同位值要纵横相间摆设算筹，所以空
位很易辨别。筹算的加减法是摆上两行筹式，位数对齐，相加相减变成
一行筹式就得出结果。乘法则分三层摆筹，上位、中位、下位分别相当
于被乘数、积和乘数；除法也分三层摆筹，中位为实 （被除数），下位
为法 （除数），上位为商。图6。18给出84×61的筹算图式，所得积为
5124（图）；图6。19给出5987÷
3
16的筹算图式，所得商为374 。
16
十进位值制记数法和以筹为工具的各种运算，是中国古代一项十分
杰出的创造，比古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法更为优越。
春秋战国时期，分数已常被使用。当时历法计算中的奇零就用分数
表示；生产和生活中大量的分配问题，也常用到分数概念。如《管子》
在谈到土地种植的分配时有“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、
“十分之七”等分数；《墨子》在讲到食盐的分配时有“二升少半”、
“一升大半”的说法。“半”即二分之一，“少半”为三分之一，“大
半”为三分之二，都是当时通用的分数术语。《考工记》中对于各种器
具规格的规定，大量使用了分数，而且有了分数运算。
从战国墓葬中出土的天平砝码的重量，以1、2、4、8……递增，这
0 1 2 3
相当于等比数列、2、2、2、2……。在乐律研究中，《管子·地员》
篇提出了“三分损益法”的乐律计算方法，其法为“先主一而三之，四
4
开以合九九”。相当于1×3=9×9=81。这两个例子表明当时已有了指数
的初步概念。
（2）几何知识
《周髀算经》卷上之一中，记载了西周开国时期周公姬旦与大夫商
高关于原始的割圆之法的问答。第一段讲周天历度之数的方法，即勾股
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法。文中称：“故折矩以为句（勾），广三，股修四，径隅五。既方其
外，半之一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓
积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”这是说在夏禹时已有了
“勾三股四径（弦）五”这个勾股定理的特例的知识了。在卷上之二中
更有“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）
2 2 2
至日”。这是明确的“勾＋股 =弦 ”的表述。所以中国发现勾股弦定
理至少比古希腊毕达哥拉斯早一个世纪。
由于战争和生产的需要，春秋战国时期各地修建了不少城防和水利
工程。这就需要运用大量的几何知识进行距离、高低、厚薄、土方等测
量。《墨子》中就记载了有关城墙、城门、垛口、城楼的一系列计算问
题，都与立体几何有关。 《春秋》记载，公元前594年鲁国首先实行对
公、私土地一律按田亩征税的“初税亩”制度，这就要对各种形状的面
积进行丈量计算。可以相信，当时对正方形、长方形、三角形、梯形和
圆等各种面积，已有了计算法则。
春秋战国时期的文献中，有不少关于测量绘图的记载。测量包括直
线测量、水准测量和垂直测量，分别称为“绳墨”、“水”和“悬”。
“绳墨”就是打墨线以取直，“水”就是以水平面为标准测量坡度和高
程；“悬”就是用铅垂线以定竖直。
在制造各种农具、车辆、兵器和乐器中，常会遇到不同部位有不同
角度的问题，所以当时已形成了角的概念以及衡量角度大小的一些单
位。 《考工记》把角称为“倨句”（j