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螺线第一圈与初始线所围的面积等于第一个圆的1/3，如图6。12。第一
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个圆的半径OA＝a，因此，螺线第一圈与初始线所围的面积S＝πa/3。
对此证明也是用穷竭法作出的，证明方法是把圆周n等分，于是就可作
出与螺线弧所围面积相对应的外接扇形和内接扇形。面积S大于所有内
接扇形面积之和，而小于所有外接扇形面积之和。阿基米德仍通过穷竭
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过程，并用双归谬法最后证明了S＝ πa2 。这里，同样用的是穷
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竭法，但与求抛物线弓形面积时靠增添越来越多的三角形相比，新颖之
处是阿基米德选取了越来越小的扇形。这种做法对后人是极有启发的，
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尽管阿基米德的证明中没有明确的极限步骤，但是他的证明过程中已经
有了微积分思想的萌芽。
在《论球和圆柱》的著作中，阿基米德利用穷竭法还证明了许多命
题，其中有：
任一正圆柱 （不计上、下底）的表面积等于一圆的面积，该圆半径
是圆柱高与底直径的比例中项；
任一球的面积等于球大圆面积的4倍；
以球的大圆为底，以球的直径为高的圆柱，其体积是球体的3/2，其
包括上、下底在内的表面积是球面积的3/2。（这就是刻在他墓碑上的那
个著名定理）。
②用近似计算得到π值。在 《圆的度量》中，阿基米德证明了3个
命题。第1个命题是圆的面积与直角三角形AOB的面积相等，如图6。13，
直角边AO等于半径，另一直角边AB等于圆的周长。第2个命题是圆的
面积与由它们的直径构成的正方形的面积之比大约是11∶14。第3个
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命题是圆的周长与其直径的比小于3 而大于3 。这第3个命
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题已经产生了圆周率π的近似值，它是阿基米德通过计算圆的外切与内
接正96边形的周长的近似值得出的。这在科学中，第一次提供了带有误
差估计的π的数值结果，而且整个求值的过程表现了阿基米德近似计算
的高超技能。在阿基米德之前，比例是以几何形式出现的。但是，阿基
米德为了得到对实际有用的结果，把算术运算运用于确定量的比例，这
为数学实数理论的发展打下了基础。
③用力学的方法解决数学问题。阿基米德不仅是一位伟大的数学
家，同时还是一个伟大的力学家。在力学上，他有非常重要的贡献。他
计算出了许多种平面形和立体形物体的重心；总结出了杠杆的一般原
理；关于浮力的研究，他发现了比较不规则物体重量的方法，使后人将
浮力定律与他联系起来。据说，他曾豪迈地表示，“给我一个支点，我
能掀翻地球。”他的力学成就与他的数学工作密切相关，这不仅表现为
他的一些力学结论是以数学为基础的，而且还表现为他用力学的思想得
出正确的数学定理，解决了一些数学问题。
1906年，阿基米德写的一个短文被后人发现了。在文中，他提出了
一种借助于力学原理研究数学问题的方法。这种方法的要点是，把所求
的面积和体积都看作是有重量的东西，而且体积是由面积构成的，面积
是由彼此平行的直线构成的。这样，为了求得面积和体积，可以先将相
应的面积或体积分成很多小长条或小薄片，它们都有重量；然后找出它
们的重心和支点，就可以用杠杆平衡定律算出它的面积或体积。阿基米
德用这种方法得到抛物线弓形的面积、球和球冠的面积、抛物体旋转截
体的体积等成果，他把这种方法看作是发现数学真理的主要方法。不过，
阿基米德也仅仅把它作为发现方法，得到结果后还要进行证明，用的还
是双归谬法。他的这种发现方法虽然含有把一个量当作是由许多微小部
分组成的思想，但是，由于这种方法中没有积分求和的计算，因此不能
视为积分法。不过，有的数学史专家则把这看作是通往积分的迂回之路。
阿基米德在数学领域中作出了重要的贡献，他既长于严格论证，又
精于巧妙的计算，尤其是他能够将理论与实际密切结合，将数学成功地
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应用到力学方面，在古希腊数学家中还难以找到第二位。
当然，由于时代的局限，阿基米德的数学研究中还有一些不完善的
地方；他的方法也是几何式的而不是代数的；同时也缺乏有力的分析工
具，这限制了他的进一步创造。另外，由于没有方便的代数符号，使得
他的著作读起来也比较艰涩。但是，这种状况并未能阻止阿基米德的工
作和成就的传播。13世纪，阿基米德的著作全部被译成拉丁文，从而成
为西欧学者的经典著作；17世纪，他的著作被介绍到中国。这使得阿基
米德对后人产生了深刻的影响。后人也给予阿基米德以极高的评价，“任
何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基
米德，而另外两位通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的
时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首
推阿基米德。”
（8）阿波罗尼乌斯与 《圆锥曲线》
阿波罗尼乌斯（约公元前262～前190）是与欧几里得、阿基米德齐
名的大数学家，他们三人被称为亚历山大前期的数学三大家。阿波罗尼
乌斯在青年时代曾跟欧几里得的门人学习过几何学，以后就留在亚历山
大城与当地的数学家们合作研究，使他成名的工作是他关于圆锥曲线理
论方面的建树。在阿波罗尼乌斯之前，很早就有人研究圆锥曲线了，欧
几里得和阿基米德也都写过这方面的书。但是，阿波罗尼乌斯还是做出
了他独特的贡献。由于他曾接受过欧几里得几何学的训练，因此他按照
欧几里得的方法和精神写出了经典之作《圆锥曲线》。在这本书中，他
综合前人的成就，去粗取精，并加进了自己独到的创见材料，使圆锥曲
线理论系统化。后人对此给予了高度评价，“除了综合前人的成就之外，
还含有非常独到的创见材料，而且写得巧妙灵活，组织得很出色。按成
就来说，它是这样一个巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几
乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古典希腊几何的
登峰造极之作。”①
《圆锥曲线》一书的内容分为8篇，共计有487个命题，可惜的是
第8篇已经失传。
第1篇给出了圆锥曲线的定义并讨论了它的性质。阿波罗尼乌斯推
广了梅奈克莫斯的方法，第一个依据同一个圆锥的不同截面，分别研究
了椭圆、抛物线和双曲线。在他之前，梅奈克莫斯等人是分别以三种不
同的圆锥，即锐角圆锥、直角圆锥和钝角圆锥的同一截面，来发现和研
究圆锥曲线的。椭圆（原名亏曲线）、抛物线（原名齐曲线）和双曲线
（原名超曲线）的名称就是阿波罗尼乌斯引入的，取代了 梅奈
克莫斯的锐角圆锥曲线、直圆锥曲线和钝角圆锥曲线之称，他还是第一
个发现双曲线有两支的人。
图6。14椭圆曲线的共轭直径
在阿波罗尼乌斯研究这些圆锥曲线的性质时，他 还引入了共轭直径
的概念。如图6。14，考察椭圆中与FG平行的一组弦，这些弦的中点都
① ［美］贝尔：《数学人物》，转引自解延年、尹斌庸编著《数学家传》，湖南教育出版社1987 年版。
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第102 页。
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在一直线AB上，AB则被称圆锥曲线的直径。阿波罗尼乌斯证明了若过
AB的中点C作直线DE平行于FG，则DE将平分所有平行于AB的弦，DE
就叫做AB的共轭直径。对双曲线，AB的共轭直径DE被定义为AB与双曲
线的正焦弦的比例中项，它与双曲线并不相交，如图6。15。对抛物线，
由于它的任一直径总是平行于对称轴，而平行于直径的每根弦都是无限
长，因此，抛物线没有共轭直径。阿波罗尼乌斯通过直径及共轭直径来
描述圆锥曲线的一些性质，可以认为这里已含有坐标的思想萌芽。
第2篇首先描述了双曲线渐近线的性质，阿波罗尼乌斯不仅指出双
曲线渐近线的存在，而且还指出在定的长度。在这一篇，阿波 罗尼
乌斯还说明了如何求圆锥曲线的直径以及有心 圆锥曲线的中心和轴的
方法。最后，阿波罗尼乌斯给出了怎样做满足给定条件的圆锥曲线的切
线。
图6。15双曲线的共轭直径
图6。16圆锥曲线的极线
第3篇首先论述了关于圆锥曲线的切线与直径 所成图的面积定理，
接着又论述了极点和极线的所谓调和性质。如图6。16，TP与TQ是圆锥
曲线的切线， �