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？
2
？ v ？
4
？ v ？ ？
du ？
y ？ ？ v ？ v
？ ？ ？
y 2l
？ ？ ？
2
u 4
1 2l
*
？ = u 2 ？1 ？ ？ ＋ ？ ？
？ ？ u*
1 ？ ？1 ＋ ？ ？ ？ ？ ？ ＋ ？ ？ ？
dy ？
h ？ ？ 2l ？ 2l
h ？ ？ y ？
2 ？
*
u
？ * ？1 ？
？ y ？ ？
？1 ？ ？ ？
？？ ？ h ？
？ h ？ ？？
（5）
after expansion into series； which is convergent。 It can be shown through numerical
examples； that even at the conjunction of the two flow regimes； v /2l is not
significant when pared with u* ； so that we may write
l
du
= u*
dy
1 ？ y
h
（6）
Let
？ = ？（y ）
be an unknown function of y to replace k as a constant in
Karman’s hypothesis； such that
l = ？y
1 ？ y
h
（7）
bining （6） with （7）； we have in turbulent core
du u
= *
（8）
dy ？y
On the other hand； the velocity profile in the viscous film is a straight line with
a gradient
du ？ u 2
= o = *
（9）
dy ？ v
Naturally； the curve must tangent to the straight line with a mon gradient in
order to be continuous。 Thus；
86
？y = v
u*
At the depth y0 = v / u* ；？ = 1；
（10）
o o *
u / y = u 2 / v；
uo = u*
（11）
This point of conjuction of the two flow regimes may be taken as the initial of
the velocity profile at the bed。 It should be at a distance
yo = v / u*
above the sand
bed； or approximately at the top of sand bed； since yo is too small to be measurable。
Derivation of the Formula of Velocity Profile
The velocity u at a level y from the sand bed along a vertical may be integrated
from Eq。 （8）：
y dy
u = u* ？y ？0 ＋ u*
（12）
o ？y
in which η is an unknown function of y to be found。
The problem confronting us is that besides all physical and boundary conditions；
the constant discharge Q and the surface curve including total depth of flow h and
slope J at the given section of flow are all given； it is required to find the velocity
profile u~y along the vertical of the section。 Since
u* =
ghJ
and
um = Q / Bh
are known； from
um = u*C /
g ； the Chezy constant reflecting roughness of the
boundary of flow is also given。
Evidently； the u~y relation must satisfy the requirement of total discharge Q
after integration； i。e。；
h
？ udy = um h = Q / B
（13）
o
Among an infinite number of such u~y relations； there exists only one relation true
&
that obeys the law of minimum rate of energy reserved
Er in the section； which is
equivalent to the law of maximum rate of energy dissipation：
E
r
h
& = ？
？ u 2
（ ）
？Budy ？
p ？
＋ ＋ y ？
？
o ？ 2 g ？
87
=
？B h
？
u 3 dy ？ ？hQ = min 。
（14）
since
2 g
p
＋ y = h ； and
？
o
h
？o Budy = Q 。
Thus the problem reduces to one of finding the function of velocity distribution
along the vertical such that
h
？ u 3 dy = min 。
（15）
whith
o
u = u（ y ） = u（y；？ ） ； where
？ = ？（y ） 。
Substituting Eq。 （12） into （15）； we have
u 3
h h ？
3
y dy ？
？ u 3 dy = ？
* ？？
＋ 1？
dy = min 。
（16）
o o ？ o ？y ？
The equation shows that the required condition of minimum holds for any
multiple of u； i。e。； u=kua ； as
u* =
ghJ
is given； This offers a method to determine
the absolute values of u so as satisfy Eq。 （13）。 Let us change u to ua in Eq。 （12） and
（16） for the time being：
h h
？ u 3 dy = k ？
u 3 dy = min 。
（17）
o o a
According to the variational principle； the Euler ’s Formula provides； the
extremum occurs at
u 2 ？ua = 0
a ？？
since
ua ？ 0 ； the minimum condition is
？ y dy
？ = 0
（18）
？？ o ？y
The integral equation is solved through the following processes：
y d ln y 1 dy
？ ＋ = 0
？o ？ 2
？y d？
88
d ln y
d （d ln y ） d ln y
d （d？ 2 / 2）
（ ） （ ）
= ？ ？
？ 2 d ？ 2 / 2 d ？ 2 / 2
d （？ 2 / 2）
1 d （？ 2 / 2）
d （d ln y ）
d （d？ 2 / 2）
= ？
2 ？ 2 / 2 d ln y
d （？ 2 / 2）
？ ？ 2 ？
1
1
ln？ 2 / 2 = ln（d ln y ） ？ ln？ d ？ ＋ ln C
2 ？ 2 ？
1
？ ？ 2 ？ 2
？ ？
？ 2 ？
？ ？ 2 ？
1
d ？ ？ = C d ln y
？ 2 ？
3
2 ？ ？ ？ 2
？ ？
3 ？ 2 ？
2
= ln y C1 ＋ C
？ 3
2
= ln y C1 ＋ C
（20）
The
3
？ ~ y
2
curve is fixed at the two ends by the following relations： At the
water surface；
y = h；
？ = 0；
u = umax
（21）
1 y
This is seen from the Nikuratze experiments of ~
ro ro
curves； although ？ is a
little over zero when the Reynold’s number is high。 M。S。Yalin （page 31； （2）） explains
that when approaching the free surface； the turbulent fluctuations will be dampened
du
so that 1 tends to zero while
dy
is not necessary to be zero。
At the top of sand bed； we already have
y = y0 = v / u* ？ 0；
？ = 1；
u = u*
（11）
Thus； by substituting Eq。 （21） into （20；
C1
ln h
？ C2 = 0
（22）
Also Eq。 （11） into （22）；
89
1 1
y ？ ？
？ = ？ ln
？ ln 1 ？ 3
？ ？
？ h ？
u h
？ ？
R
？ * ？
（23）
where
R*
ua
= *
v
y dy
1
？ 1 ？ 3
d ln y
y h
（24）
*
u = ？o ？y
＋ 1 = ？ ln
？
？ ？
o
R* ？ ？
＋
1
1
y ？ 3
？ ln ？
？ h ？
2
3
1 ？ y ？
*
= （1 ＋ 1。5 ln R
） ？ 1。5（ln R
） ？ ln ？ 3
（25）
*
？ h ？
To find the mean of ua ；
d
？ y ？
？ ？
uam = 1 ？h ua 1 ？ y ？ h ？
u
dy = （1 ＋ 1。5 ln R ） ？ 1。5（ln R ）3
u* h o *
* * o
2
？ ln y ？ 3
？ ？
*
1
？ h ？
*
= （1 ＋ 1。5 ln R
） ？ 1。5（ln R
）3 ？（5 3）
（26）
To transform ua back to u in order to satisfy Eq。 （13）； we can let
m
*
ua ？ 1
u ？ u
= （u
？ u ） u ？ u* = u* （u
？ u ）
（27）
* m *
um ？ u*
uam ？ 1
u*
ln R
？ （ln R
2
）1 ？ ln y ？ 3
？ Q ？ *
* 3 ？ ？
？ h ？
？ u = ？ ？ u* ？ 1 ＋ u*
Bh
（28）
*
？ ？ ln R*
？ （ln R
）3 ？（5 3）
u* h
h 3 2 gJ
？ 5 ？
in which
u* =
ghJ ；
R* = = ；
？？ ？ = 0。9028
v v ？ 3 ？
90
2
？ Q ？ （ln R
）=3 （ln y
h）3
u = u*
＋ ？ ？ u*
*
2
2
（29）
？
？ Bh
？ （ln R
*
C
）=3 ？ ？（5 3）
hJ
？ （30）
ghJ
When y=h；
u = umax = 2 2
1 ？ ？（5 3） （ln
ghJ ）=3 （ln
ghJ ）3
？（5 3） ？ 1
When y=ym；
u = um ； （ln y
2
h）3
±1
= ？（5 3） = 0。9028； ln y
？ ？
？ ？
？ h ？
= 0。8578 ；
ym / h = 0。424
（31）
which is the exact location of the mean velocity um along the vertical of profile；
while the conventional stipulation of measuring um is
downward from the water surface。
1 ？ ym / h = 0。6 ？ 0。576
It is seen that Formulae （23） and （29） without any empirical coefficient are
derived from purely theoretical analys
Example
Data from “Summary of Alluvial Channel Data From Flume Experiments”； 1956…61。
U。S。Geological Survey Professional Paper 462…1； 1966。 By H。P。Guy； D。B。Simmons； and E。V。Richardson。
Run 1。 P。 162； 163。
Slope J=0。0