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“另一个人的手之一”是二十一，这样计算到“两个人”即四十，等等，等等。
这种事态教给了我们一个有时被否定的真理，那就是原始人类社会像我们现在社会
一样，自己有能力前进、或有能力自我改善。十分明显。有过这样一个时期，当时这些
人的祖先还没有用来表示十五或十六，甚至五或六的同，如果他们有这些词，就不可能
如此愚笨，用这么几个谈到手、脚和整个人的句子来代替它们。我们看到，有过这样一
个时期，当时除去自己的手指、脚趾以外，没有用来计算同类数的其他手段。他们发现，
这数只不过是需要用几个词来表示他们在计算时的实际动作，就像类似“双手”这个说
法能够用来表示十的数词一样。后来，他们就把这些保留了下来作为数词，而它们最初
的意义就丧失了。像维族（Vei）黑人一样，他们把数字二十称作“mo bande”，它的本
意应是“一个人被结束了”，而其本意却被遗忘了。
早已进入文明时代的各民族的语言中，很少发现其数词含有如此明确的原始意义，
或许，是因为这种原始意义起源极古，也可能有了极大的改变。但是，在世界上的一切
语言中，在蒙昧人或在文明人的语言中，除了极个别的例外，有不可磨灭的印记证明，
数词产生于按手指、脚趾的原始计算。这种用手指、脚趾的原始计算，使得人们习惯于
以五、十或以二十为一组地进行计数，现在人们还继续采用这种计数方法。计数的五进
位法，在像塞内加尔的黑人部族中使用，他们计数：一，二，三，四，五，五——一，
五——二，等等。我们任何时候也没有用这样的文字计数，但是却用罗马数字这样来书
写它们。十进位法是世界上最通用的，我们通常计数就属于这一种：因此，八十三就是。
八个十和三”。在许多语言中，二十进位计数法也较常用；这种方法，在文明欧洲的十
位计数法中也留下了烙印，这一点在英语和法语中可以看到，例如，八十三的文字表示
是“四个二十和三”。因此，不能怀疑，现代人是从原始人那里直接继承了他们最早的
算术，而这种算术是用天然的计算器——手和脚来进行计算的。这同样说明，文明世界
为何采用建基于并不方便的十位数的数字表示法上，这种十位数既不能用三除尽，也不
能用四除尽。如果我们不得不重新创立我们的算术，我们就会把它建基于一打或十二进
位法上，并用一打和一罗（十二打）来代替一十和一百。
数字名称的制定是前进中的伟大一步，但是在算术中，词语未必能有助于达到最简
化的地步。任何人在试图用词语“八千八百个三”乘上“二百个十七”之后，而不能用
把它们化为数字的推算来帮助自己，那么，他就会相信上述这一点。人们如何进步到采
用数字符号？或许可从野蛮时代的会意文字中获得回答这个问题的起点。例如，北美的
战士用标上四个小点来表明他剥了四个人的头皮。这种方法对于不大的数字是适用的，
但是对于大数字就不适用了。因此，早在文字艺术的童年状态下，古人们就想到创造一
些专门符号来表示五个、十个、一百个等等，而仍旧只用简单的小点来表示个位数。
这一点在插图中可以很好地看到。图87表明如何应用古代埃及和亚述的进位法。这
种古老的方法还没有灭绝，因为迄今仍然应用的罗马数字符号I、V、X、L，就几乎是按
照同样的原则排列的。另一种由字母产生的方法，就是按顺序用字母来表示数字。例如，
圣歌诗CXIX就附有希伯来文字母作为标记号码，而《伊利亚特》一书就用希腊文字母作
标记号码。借助这各种各样的进位方法，古代算术做出了巨大成绩。然而所有这些进位
法比起新世界的进位法来，是极不适用的。只要写一写MMDCLXIX和乘以 CCCXLVlll就可
以说明，我们丝毫也不会忘记确信我们的数字的优越性。
为了了解数字如何发明，必须回到粗野的社会形态中来。在非洲，能够在市场上看
到用小石子算帐的黑人商人。他们算到五的时候，就把一颗小石子放入在另一边的小堆
之中。在太平洋的岛屿上发现，土著们数到十的时候，就把不满十的一堆东西分开放在
一边，而仅用一块椰子果来表示十。以后，如有必要，就用一大块椰子果来标志十个十
或一百。显而易见，这样采取各种不同符号并不是必要的，重要的是要借助小石子或椰
子来进行计算，这就是使一个一堆，十个一堆，一百个一堆等等分别处于独立状态。采
用像石子这样一些东西作计算标志，在古代十分普遍，因而希腊的计算用语中曾有“Ps
ephizein”，这个词是从“Psephos”（石头）来的，而相应的拉丁文是“calculare”，
也是从“calculus”（石头）来的。用石子作为计算标志，迄今仍然作为遗留保存在英
国居民的文盲层中。
为了调整这类用石子计算的顺序，需要一种算盘，或带分类的计算盘。这算盘有各
种形式。例如，罗马的算盘是在一些小木柱上穿许多小孔或安上许多节，而中国的算盘
则是把许多木珠穿在许多金属丝上，当地商店里的会计就用它们迅速而准确地计算，其
迅速程度和准确程度远远超过使用铅笔和纸的欧洲帐房办事人员。俄罗斯的商人们可能
就是从中国传入这种计算方法，他们同样采用这种方法进行计算。据说，在拿破仑侵略
时期，有个法国人在俄罗斯看到这种计算方法之后，大为惊奇，认为它们能够很好地用
来教儿童们算术。因此，他把算盘引进法国，它又从这里进入英国的初级学校。不论使
用那种算盘，它们的原则是相同的，就是盘面分成若干行，第一行的石子、豆粒、小木
柱或木珠，表示个位，第二行表示十位，而第三行表示百位，等等，如图88。在这里，
右面一行的三颗石子表示3，下一行的九颗石子则表示90，第四行的一颗石子表示1000，
等等。
进一步完善在于取消不适用的石子或豆粒，也在于在行中记下数字，如插图中用希
腊和罗马的数字符号所表示的那样。而现在，会计没有拙策的器具也已经能够过得去了；
他只要在纸上画上线，造成个位行，十位行，百位行，等等就可。当然，读者已经看出，
完全没有必要遵守算盘的原则，每下一行都较前一行多十倍。它也可能是多十二倍，或
多二十倍，或多某种需要的倍数。不过这种计算仍然为数字没有行不成这种缺点所苦，
因为甚至从个位到十位的每个数都有了一个独立数字来表示时，有的计仍然可能会留下
空白（如图中所特意这么做的那样）。在取消行的情况下，那就会导致一切都混乱不清。
现在，我们觉得用一个符号来标志空行是最简单的事，由于已经学会了借助零或符号0，
因此，算盘上表示的数字，现在书写起来就投有任何行了——241093。
这种在实践方面表示“无”的符号的发明，是在科学中迈出的最伟大的一步。正是
零的采用，构成了古代算术和我们的方便计算之间的全部区别。我们认为这是阿拉伯人
的发明，因而采用了术语“阿拉伯字码”，然而阿拉伯人自己却称它们是印度字码。这
两种名称都含有几分真理，因为有些民族是向另一些民族学习了算术。但是迄今为止，
仍然有个没有解决的问题：这些字码是在亚洲发明的，还是起源于欧洲，起源于毕达哥
拉斯学派（school of Pythagoras）的算术。但是，主要之点则毫无疑问，那就是，新
时代的算术起源于古代按照算盘各行的计算，而这种算盘后来为书写圈或零来标志空行
所改进。借助于这种符号，现代的儿童们能够轻易地进行运算，而这种运算对于古代的
计算者来说，是极端困难的。
现在，我们转来谈谈测量技术。很容易就能立即想到，也像计算一样，人最初是借
助自己的身体来进行测量的。当野蛮人借助自己手指的宽度知道一支矛比另一支矛长多
少的时候，或者在建造茅屋的时候，他们想到应当把一只脚放在另一只前面，以取得两
柱之间的距离，他们就使测量技术走上了第一阶段。迄今为止，我们在从事粗糙工作时
有时也采用这种方法，例如，我们用手势来表明马的高度，或用步子来量地毯的大小。
如果选择的是中等身材的人，那么，能使测量十分正确。原始的方法就是这样，未必能
加以怀疑，因为掌握了较精确手段的文明民族，至今也还采取身体度量的名称．如肘，
掌、足（英尺），拃，指，等等。不过，这些名称虽保留着借助人体器官的早期测量的
回声，它们在现代也只是用作人们偶尔能按其大小与之十分相近的度量单位的方便名称。
例如，人的一足长为一福特，如果把它作为定则，当然是极大的谬误。
我们的新测量法，是借助标准度量进行测量。这种标准度量，我们是从古代继承下
来的，只不过作了或大或小的改变。埃及人和巴比伦人把具有为标准度量所必需的一定
精确长度的一段木头或金属拿来应用，这是文明史上的伟大一步。至今还可以看到分成
若干节的埃及的肘，而巨大金字塔中的皇帝房间，长有二十肘，宽有十肘，极为精确。
一肘等于20．63英寸。我们的福特在最近几世纪中没有变化，跟希腊和罗马的福特也不
太相等。
法国人在第一次革命时期作了大胆尝试，抛弃古代的传统度量而直接取法于自然，
于是就制定了公尺，它是赤道和极之间距离的千万分之一。但是，这种计算原来并不精
确。所以公尺在现代实际上是陈旧了的标准度量，然而同样是一些度量，那种分成若干
细度的公尺在使用上便利性是如此之大，在全世界越�