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底比甲差一些 (尽管还是比自己强),如果一定要和某个人对
决下一场的话,选择枪手乙,自己获胜的机会要比对决甲多
少大一点。
于是第一阵乱枪过后,甲还能活下来的机会少得可怜将
近 ,乙 是 ,丙 是
通过概率分析,你会发现丙很可能在这一轮就成为胜利
者,即使某个对手幸运地活下来,在下一轮的对决中,也并
非十拿九稳,毕竟丙还有微弱的机会。
现在换一种玩法 (我们知道 ,有 时胜负是 由规则决定
的):三个人轮流开枪,谁的机会更大 ?
这里我们又要遇到琐碎的排序 问题,但不管怎么排,丙
的机会都好于他的实力。至少,他不会被第一枪打死。而且,
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他很可能有在第二轮首先开枪的便宜。
例如,顺序是甲、乙、丙,甲一枪干掉了乙,现在,就
轮到丙开枪了 尽管枪法不怎么样,但这个便宜还是很大
的:那意味着他有将近一半的机会赢得这次决斗 (毕竟 甲也
不是百发百中)。如果乙幸运地躲过了甲的攻击呢?他一定要
回击 甲,这样即使他成功,下一轮还是轮到丙开枪,自然,
他的成功概率就更大了。
问题来了:如果三人中首先开枪的是丙,他该怎么办?
他可以朝 甲开枪,即使打不中,甲也不太可能回击,毕
竟这家伙不是主要威胁,可是万一他打中了呢?下一轮可就
是乙开枪了……
可能你会感到有点奇怪:丙的最佳策略是乱开一枪 !只
要不打中任何人,不破坏这个局面,他就总是有利可图的。
(当然你可能会说,鉴于这家伙的没有准头,也许他乱开枪反
而更可能打中什么入。但那就是另外的问题了。)
这是一个很有意思的结果,枪法最准的人,他应当是最
强者,但他活下来的机会比较小,这里只有 。而活下来
机会最小的是次强者,或者说没有机会,因为他对最强者的
威胁最大。能够活下来,或者说,活下来的概率最大的是最
弱者,任何人均不把他看作有威胁的。
无论是在人与人的关系的争斗之中,还是在国与国之间
的对抗之中,我们发现,这个模型有较强的说明力。最易受
攻击的是强者的敌人,如冷战时期的前苏联,冷战后的伊拉
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克;其次危险的是最强者,因为其他人均将矛头对准它;这
两者之外的则相对安全。
同时这个故事告诉我们:在多人博弈中,常常会发生一
些奇怪的事情,并导致出人意料的结局。一方能否获胜,不
仅仅取决于他的实力,更取决于实力对比造成的复杂关系。
你可能已经发现,乙和丙似乎达成了某种默契:在 甲被
干掉之前,他们相互不是敌人。
这不难理解,毕竟人总要优先考虑对付最大的威胁,同
时这个威胁还为他们找到了共同利益,联手打倒这个人,他
们的生存机会都会上升。而且,从悲观的角度看,他们恐怕
也活不到需要相互拼个你死我活的时候。
但这个 “同盟”也是很不牢固的,两个人都在时时权衡
利弊,一旦背叛的好处大于合作的好处,他们马上就会翻脸。
在这个 “同盟”里,最忠诚的是乙 只要甲不死,他
就不会背叛;丙就要滑头多了,在前面轮流开枪的例子中,
他不朝 甲开枪,从同盟者的角度说,就是没有履行义务,而
把盟友送上危险的境地,这不是因为道德水平不同,而是处
境不同。乙是 甲的头号 目标,这个敌人一定要 向他开枪的,
完全没有回旋的余地;而丙不同,他随时愿意牺牲乙换取下
次 自己的先动手之利。
除了压力较小之外,还有一个动力驱使丙背叛,那就是
一旦干掉 甲后,乙的机会 比他要大,他至少要保持先下手,
才可能一争高下。
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我们在讲述 “三个火枪手的决斗”时设立的基本前提是
每位参赛者都是理性的,而且都力图为 自身利益考虑。这个
问题的一项教益在于,显而易见的策略 每位参赛者都试
图除掉较强的对手 并不一定是好策略。
枪战决斗的另一项教益是,几千年来,人类始终把一条
黄金法则当成行为的准则。这项法则是:种什么因,收什么
果。你种的善因或恶因,最后都会回报到你 自己的身上。在
缺乏有关参赛者能否联络、共谋、进行威胁或达成有约束力
并可以实施的协议等信息的情况下,对可能的解法是不能进
行正确评估的。在对策论中,往往需要了解这样的社会学因
素。
无须试图进行严格的论证,我们就能很容易地理解,枪
战决斗可能类似于政治或经济的竞争。按照纽约大学政治学
教授斯蒂温 布拉姆斯的看法:枪战决斗的知识可以扩展到
多位候选人的政治竞选上。布拉姆斯说道: “看来这些候选人
的最佳战略,莫过于在他的部分政治势力范围内追随最强的
对手。
如果你是一个 自由主义者,而且另外还有两位 自由主义
者,那么你就要追随最强的一位。于是所发生的情况将是两
位最强的对手就会彼此攻击,而最弱者就会存留下来了。”
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联盟与对抗
假设敌对三方正在相互作战,他们分别为 ,各
有 个 、 个 、 个 单位 的军 队 (坦 克 、军 队 、战机 皆
可),现在开始射击。在蓝氏定律下,每位士兵都会向目所能
及的陌生人开火,无论其属于哪一方。当尘埃落定,军队数
少的一方定会被全面消灭,而 与 则各剩 个与 个单
位的军队。不仅军队最少的一方会成为历史,第二大势力
比起 也是损失惨重。 大约丧失一半的军力,而 不过从
减少到 ,所以 可 以在少量损失的状况下,轻而易举
除掉 。因此对多数的一方来说,采取随意射击是很有利的,
而 和 互射的结果就是等于间接帮了 军队。
假设 和 两军将领都知道这种状况,于是决定以结盟
的方式,联手对抗 ,至于这两军如何处理他们之间的分歧,
容后再谈 。于是联军共有 个单位,远远超过 军,假定
仅需要耗损联军的 个单位即可击败 军,这当然比白白
牺牲要强得多,也同时说明军事联盟这么受欢迎的主要原因。
当然,未必每次联盟都能这么成功。因为结盟双方都很清楚,
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他们很快就必须摊牌,因此多会有所保留。
还有一个有待解决的问题,在 和 共同与 对决时,
彼此的相对损失如何,这会影响到下一次战斗时双方的情势。
同样地,这个数学计算太过繁琐,假定结果是双方将分别损
失 ,因此 的 个单位会剩下 个单位,而 的
个单位则剩下 个单位。在联盟的情形下,成为历史的就是
与 则在共 同行动中,分别失去同比例的军力。而在
接下来的战役中, 会获胜,不过损失惨重,原来 个单
位,大约只会剩下 个或是 个,所 以他可能会因为损失
过大而觉得不值得和 决战。
从三方竞赛中两方结合是有利的这个原则,可引申到多
人参与的游戏当中,而人们过去的经验也证实了这一点。
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三国的曹、刘、孙三家关系,就是 “枪手博弈”很典型、
也很有趣的例子。
“赤壁之战”中,曹操实力最强,孙权次之,刘备最弱。
孙、刘都无法单独对抗曹操。为了抵挡最强大的曹操,孙刘
必须联合起来。孙权拥有六个郡的地盘和数万军队,而刘备
没有地盘,只有不足两万人马。用上一节中的例子来比,孙
权是乙,刘备是丙。
我们 已经知道,乙是这个 “暂时联盟”中较肯卖力的一
方,所