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第五公设是论及平行线的，它说的是：如果一直线和两直线相交，所构成的两 个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的侧相 交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句还是在内容上都 不大像是个公设，而倒像是个可证的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明， 才不得不把它放在公设之列。
为给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到 19世纪初，数学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但 都遭到了失败。罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始，他也是循 着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就 记有他在1816——1817学年度向何教学中给出的几个证明。可是，很快他便意识到自 己的证明是错误的。前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反 提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公 设不可证的解答，这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切 夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程上发现一个新的几何世界 的。
那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几 何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法——反证 法。
这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否 定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。 假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理 系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻 辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也 就间接证得“第五公设不可证”。
依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平 面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“ 过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题 和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古 怪的命题，但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何罗辑矛盾。于是， 远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理 系统可构成一种新的几何，它的罗辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。 而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设 不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切夫斯 基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。
在冷漠中宣告新几何诞生
1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的 第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首 创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就 遭到正统数学家的冷漠和反对。
参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中著名的数学家、天文 学家西蒙诺夫（A。M。CИMOHOB），有后来成为科学院院士的古普费尔（A。R。KYI… Iφep）以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼（H。Д。Бp…aшMah）。在这些人的心 目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。可是，出乎他们的意料，这位 年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角 形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的 垂线可以和另一边不相交，等等。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突 ，而且还与人们的日常经验相背离。然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它 们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得向何有着同等的存在权利。这些古怪的 语言，竟然出自一个头脑清楚、治学严谨的数家教授之口，不能不使与会者们感到 意外。他们先是表现现一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。
宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也 不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些 最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理 解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的 事情。
会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组， 对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写 出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。
权威的讥讽与匿名者的攻击
罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉 大海，不知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气，而是顽强地继续独自探索新几 何的奥秘。1829年，他又撰写出一篇题为《几何学原理》的论文。这篇论文重现了 第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。此时，罗巴切夫斯基已被推选为喀 山大学校长，可能出自对校长的“尊敬”，《喀山大学通报》全文发表了这篇论文。
1832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得 堡科学院审评。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基（M。B。OCTPOГPAДCKИ Й，1801…1862）院士作评定。奥斯特罗格拉茨基是新推选的院士，曾在数学物理、 数学分析、力学和天体力学等方面有过卓越的成就，在当时学术界有很高的声望。 可惜的是，就是这样一位杰出的数学家，也没能理解罗巴切夫斯基的新几何思想， 甚至比喀山大学的教授们更加保守。如果说喀山大学的教授们对罗巴切夫斯基本人 还是很“宽容”的话，那么，奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语言，对罗巴切 夫斯基作了公开的指责和攻击。同年11月7日，他在给科学院的鉴定书中一开头就 以嘲弄的口吻写道：“看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作。他达到自己 的目的。”接着，对罗巴切夫斯基的新几何思想进行了歪曲和贬低。最后粗暴地断 言：“由此我得出结论，罗马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学 院的注意。”
这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒，而且还激起了社会上反动势力的敌对 叫嚣。名叫布拉切克（C。A。БypaЧek）和捷列内（C。И。ЗeЛeHbiЙ）的两个人， 以匿名C。C在《祖国之子》杂志上撰文，公开指名对罗巴切夫斯基进行人身攻击。 匿名者在题为《评罗巴切夫斯基的著作《几何学原理》一文中，开始就不怀好意地 写道：“甚至难以理解，罗巴切夫斯基先生是如何用数学中最简明的几何学，建立 起晦涩的、不可思议和神秘莫测的学说的。”文中嘲弄道：“为什么不能把黑的想 象成白的，把圆的想象成方的，把三角形内角和想象成小于两直角，把同一个定积 分值想象成既等于π/4，又等于∞？非常、非常可能，尽管理智是不能理解这些的。 ”在文章的结尾处，作者更加放肆地讥讽道：“为什么不写成，例如对几何学的讽 刺，几何学漫画等什么的，来代替标题《几何学原理》？”
针对这篇污辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基撰写了一篇反驳文章。但《祖国之 子》杂志却以维护杂志声誉为由，将罗巴切夫斯基的文章扣压下来，一直不予发表。 对此，罗巴切夫斯基极为气愤。
《祖国之子》杂志刊登攻击科学家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背 景的。原来这家杂志的把持者布尔加林（Ф。 В。 БyjiГapИH）和格列奇（M。И。 ГpeЧ）同沙皇秘密政治组织“第三厅”有着联系，他们靠“第三厅”的资助维持 杂志，并且充当帮凶，专门监视和打击先进的思想家和具有革命倾向的科学家。明 显表现有无神论和唯物主义倾向的喀山大学校长罗巴切夫斯基，自然要被他们列为 危险对象加以监视。借歪曲、诋毁科学新成果，来压制、打击具有进步思想的科学 家，是一切反动势力的惯用伎俩。
在孤境中奋斗终生
罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得 到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著名数学家布尼雅可夫斯基 （В。Я。БyhЯkobckИЙ，1804－1889）还在其所著的《平行线》一书中对罗巴切夫 斯基发难，他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真 实性。英国著名数学家莫尔甘（Morgan，1806－1871）对非欧几何的抗拒心里表 现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：“ 我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔 甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。
在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支 �