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A的正根提出了完整的开平方、开立
方程序，但在求根的每位得数的最后一步及求减根方程时显得繁琐。魏刘
徽、南北朝《孙子算经》等作了某些改进。贾宪则继承了《九章算术》、
刘徽、《孙子算经》等的长处，弥补了它们的不足，提出了立成释锁法。
如开平方的程序是：作4 行布算，依次是商（根）、实（被开方数或常数项）、
方法（一次项系数）、下法（二次项系数，此处是1）。将下法自右向左隔一
位移1 步，至实的首位而止；以商的第1 位得数乘下法，置于方法，以上
商乘方法，减实；以2 乘方法，退1 步为廉，下法退2 步，得出减根方程，
再如法求第2 位得数。贾宪的方法与现今方法无异。立成是唐宋时期历算
家列的算表。顾名思义，立成释锁法是利用一种算表进行开方。这种算表
便是开方作法本源，今称贾宪三角。在欧洲，它被称为帕斯卡三角，是法
国数学家帕斯卡在17 世纪初创造的，比贾宪晚出600 年左右。贾宪三角是
将整次幂二项式系数（a＋b）n（n=0，1，2，。）自上而下排成一个三角形，如
图1。■
图1“开方作法本源”图（据《永乐大典》卷16344）
贾宪三角下面有五句话，前三句“左■乃积数，右■乃隅算，中藏者皆廉”
说明了它的结构，即积、隅、廉的位置，后二句“以廉乘商方，命实而除
之”，提示了积、隅、廉在立成释锁法中的应用。显然，利用贾宪三角，
当时人们已经把开方术从这之前只能开二次、三次方（王孝通有形如x■
＋Bx■=C 的4 次方程，但通过两次开平方解决）推广到开任意高次方。贾宪
提出了贾宪三角的造法，即“增乘方求廉法”，又称“释锁求廉本源”。
求n 次方的各廉，置n…1 位，另在最下置隅算。自隅算起，自下而上增入
上位，至首位而止。再以隅算如此自下而上升增，每次低一位而止，则得
n 次方即贾宪三角第n＋1 行各廉。用现代符号写出，便是
第位/1/ C 1n
1
第位2 /1/C 1 C2
n…1 n
第位/1/C 1 2 C3
3 n…2Cn…1 n
。。/。。。。。。。。
。。/。。。。。。。。
第n …1位/1 2 3 4 。n
…1
隅算/ 1 1 1 1。n
11 Cnn
1 23 n…1 n m
则第n ＋1 行为1，Cn ，Cn ，Cn ，。，Cn ，Cn （其中Cn 只是表
示其数值，并非说贾宪已有组合表示法）。求贾宪三角各廉的关键是递加，
即变乘法为加法。在我国，自唐中叶起，人们适应商业发展的需要改进筹
算技术，其中最重要的是化乘除为加减。贾宪很可能受此启发，创造了这
种增乘方求廉法。同时，这种增乘方法可以推广到开方过程中，这就是增
乘开方法。
创造增乘开方法是贾宪最重大的贡献。这是用递增方法即随乘随加方
法达到与立成释锁法运用贾宪三角各廉异曲同工的效果。现存《详解九章
算法》所录贾宪增乘开方法的内容有：少广章开平方三问后的“增乘开平
方法”及第3 问的增乘开平方图；开立方第1 问之下的“增乘方法草”，
法、草合一；纂类章载“增乘开平方法”、“增乘（开立）方法”；少广章
另设开立圆题中所提出的开立圆法、草中，在求出实之后均云“开增乘立
方除之”，以及另设开四次方问题之下提出的“递增三乘开方法草”，法、
草合一。其递增三乘开方法的程序是：（1）分6 行布算，自上而下依次是商、
实、立方、上廉、下廉、下法，被开方数置实处，下法置1，于实的个位
之下，相当于求解x4=A 的正根。将下法自右向左每隔3 位移1 步。设4 次
方根有n＋1 位整数，这相当于令x=10nx1，变成求104nx41=A 的正根。（2）
上商得数10nx1，以上商乘下法，入下廉，乘下廉入上廉，乘上廉入立方，
乘立方，减实，余实为A…104nx41。（3）为求商的第2 位得数，须先求减根
方程：以上商乘下法，入下廉，乘下廉，入上廉，乘上廉，入立方，立方
为4·（10nx1）3。（4）又以上商乘下法，入下廉，乘下廉，入上廉，上廉为
6·（10nx1）2；又以上商乘下法，入下廉，下廉为4·10nx1。（5）立方向右
退1 位，上廉退2 位，下廉退3 位，下法退4 位，便得到减根方程
（10n…1x2）4＋4·（10nx1）（10n…1x2）3＋6·（10nx1）2（10n…1x2）2＋
4·（10nx1）310n…1x2=A…104nx41。
（6）商得第2 位得数，对减根方程重复上述程序，直到开方结束。
以贾宪另设的开三乘方题目4 1336336为例，上述各步骤如下：
（1）布位定位（2）第一位（3）作法求第二位
商33
实1336336 526336 526336
立方27 108
上廉927
下廉36
下法11 1
（4） （5） （6）商第二位
商33 34
实526336 526336 0
立方108 108 131584
上廉54 54 5896
下廉12 12 124
下法11 1
显然，这种开方法比立成释锁法简便、整齐。只要作好第一步布位定位，
掌握退位，其余的程序对任何次方都相同，尤其是求减根方程时，不必一
下子计算若干积及乘方的和，而是随乘随加，把复杂的计算变成一位乘法
与简单的加法，并且有很强的程序性。开方次数愈高，商的位数愈多，愈
显出其优越性。递增三乘开方法的提出，说明贾宪不仅把传统的开方法推
广到开高次方，而且也已经把增乘开方法用于开高次方。中国古代数学密
切联系实际，人们善于把一个数看成线段，把两个数之积看成面积，把三
个数之积看成体积，并且赋予开平方法、开立方法以几何意义，4 次及其
以上的开方在当时实际生活中很难找到其原型，它完全是数学自身与数学
理论发展的产物，是个重大突破。后来在阿拉伯地区也产生了类似的方法，
而在西方，则是意大利的鲁菲尼与英国的霍纳先后在1804 年与1819 年创
造了同类开方法，故称为鲁菲尼…霍纳法或霍纳法，晚了近800 年。
对《九章算术》的术文进行进一步抽象，是贾宪对中国古代数学的算
法理论的又一贡献。《九章算术》勾股章的解勾股形问题的术文都是特定
问题的具体算法，不是抽象性术文。贾宪根据题目的不同类型分别抽象出
股弦较与勾求股弦法作为引葭赴岸、系索、倚木于垣、勾股锯圆材、开门
去阃诸问的普遍方法，勾股较与弦求勾股法作为户高多于广类题目的普遍
方法，股弦和与勾求股弦法作为竹高折地类题目的普遍方法，勾弦较与股
弦较求勾股法作为持竿出户类题目的普遍方法。这些方法，不再涉及题设
的对象及具体数字，只就勾、股、弦及其和差立论，非常抽象。如“勾弦
较股弦较求勾股法曰：二较相乘，倍之，开平方为弦和较。加股弦较为勾。
以弦和较加勾弦较为股”，即
（a ＋ b） …c =
2（c …a）（c …b），
a =
2（c …a）（c …b） ＋ （c …b） ，
b =
2（c …a）（c …b） ＋ （c …a） 。
贾宪又将《九章算术》的勾股容方问的术文扩充为勾股旁要法。在自注中
提出了一个重要原理：“直田斜解勾股二段，其一容直，其一容方，二积
相等。”（如图2）实际上，从公共弦上任一点作两条分别平行于长方形邻
边的垂线，则两勾股形所容的两长方形必相等。这一原理在中国古代出入
相补中起着重要作用。贾宪针对勾股容圆问的术文提出了勾股求弦和较
法：“勾股相乘，倍之为实；勾股求弦，加勾、股为法，实如法而一。”
显然，这是依据刘徽所补充的圆径公式把圆径与弦和较联系起来，即
2ab
（a ＋ b） …c d
a ＋ b ＋ c
贾宪对勾股章测望诸术，以及方程章方程术，盈不足章盈不足诸术，均输
章诸术，也都作了进一步抽象。
■
图2
此外，贾宪还对许多问题提出了与《九章算术》不同的或全新的解法。
如均输章九节竹问，《九章算术》用衰分术求解，贾宪则分别用课分法、
减分法、方程术求解。贾宪将今有术改称互换术，提出了合率术、分率术
等概念。所谓合率术是除数为几个数（整数或分数）的除法，包括少广术及
凫雁类问题，分率术则是传统的鸡兔同笼问题解法，还包括其率术、反其
率术等。对盈不足章许多算术问题，贾宪都分别用互换术，合率术、分率
术提出了新的解法。这些方法都以其数学特征命名，比《九章算术》等著
作的名称更准确，更科学。
贾宪的《黄帝九章算经细草》可以看成另一种形式的《九章算术注》，
它不再像刘徽注那样以阐释《九章算术》的数理，证明其命题的正确性为
主，将自己的新方法、新思想寓于对《九章算术》术文的分段阐释中，而
是以发展《九章算术》的方法，并作运算细草为主，所采取的形式是在《九
章算术》本文和刘徽、李淳风注之后，对其方法进行改写、抽象，甚至更
新。因此，《黄帝九章算经细草》对后来，尤其是宋元数学产生了直接的
巨大的影响。首先，它被南宋杨辉取作撰写《详解九章算法》（1261）的底
本，贾宪对各种算法的抽象、创新，对若干问题的不同解法的探索，成为
杨辉作解题、比类，特别是撰纂类，对《九章算术》按方法重新分类的基
础，也成为明吴敬、程大位著述的滥觞。其次，贾宪的增乘开方法，中经
刘益（12 世纪），到南宋秦九韶著《数书九章》（1247）提出正负开方术，发
展为求高次方程正根的十分完备的方法。对高次方程的研究，也促进了天
元术即设未知数列方程的方法的诞生。方程论是宋元数学最重要、最有成
就的课题，盖导源于贾宪。还有，贾宪三角不仅用于高次开方，而且成为
后来人们解决垛积问题即高阶等差级数求和问题的有力工具。朱世杰《算
学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）系统解决了这类问题。他用平行于
左右两斜边的两组平行