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该式右边首项的分数部分的天文学含义是：月面直径被遮掩部分与月面直
径的比，而15 系指月面直径的总分数，这一项是继承了前代历家的传统算
法。第二项是与望日所值节气有关的食分改正项，对皇极历所给定的K至
和K分值的分析显示，它实际上已虑及了发生月食时，太阳与近地点（或远
地点）相对位置不同对月食食分的影响，这是一个极重要的发现。而第三项
则是一个错误的改正值，因为当S 大时当小，所以加这一项改正是适
此为必定发生月全食的最大限度，这也正是该式中第四项的含义。在皇极
S=14，代入该式得P=96 分=1。02°，这是可能发生月全食的最大限度，这
一概念和数值的阐明，同样具有重要的意义。此外，在该式中，刘焯还包
容了前人已经发明的可能发生月偏食和必定发生月偏食的最大限度的概念
和数值：令g■=0，K至=12，K 分=6，S=14，代入该式得P=1536 分=16。30°；令g、K至、K分、S 均为0，代入该式得P=1460 分=15。49°。上述皇
极历四种月食食限值的误差均在4°—5°间，其中后二种甚至不如前代历
法准确，这是意义深远的开拓进程中的失误。
对于日食食分（g⊙），刘焯也给出了类似的算式：
g⊙ =
望差…去交日分
×15±
M；
望差96
式中M 的大小或正负与日食发生时所值的节气以及距午正辰刻的多少有
关。我们知道：月亮视差的大小是与月亮天顶距的大小成正比的，月亮天
顶距的大小则与所当节气及距午正辰刻的多少相关。由此看来，该式第二
项应是虑及月亮视差对日食食分的影响的。同理，该式亦包含有可能发生
日偏食的最大限度、必定发生日偏食的最大限度，和可能发生日全食的最
大限度等日食食限的概念与数值。
第三，创立从定朔时刻求日食食甚时刻的方法。首先，日食食甚时刻
不等于定朔时刻这一命题本身，就是刘焯对日食深入细致的观测与研究的
成果。我们知道这二种时刻之间的差异主要与月亮视差有关，刘焯所提出
的算式也正表达了这一认识。其算式为日甚时刻=定朔时刻±N，其中N 的
含义与上述M 的含义相类似，可见他所创立的这一计算方法是合乎科学
的。第四，日月食初亏和复圆时刻计算法的发明。刘焯给出的算式是初亏
时刻=食甚时刻…H；复圆时刻=食甚时刻＋H，那么日月食的全部见食时刻=
复圆时刻…初亏时刻=2H。而
（300 …d）×1242 d
H =
300×1035 。
= （12 …
25）刻，
d 则是与日食食分大小有关的数值，刘焯是以等差级数来描述它们之间的
关系的，d 可由等差级数求和的方法求得，食分越小，d 越大。当食分=15
时，d=0，则2H=24 刻，该数值显然是偏大了，但它对后世历法却产生了不
小的影响。
第五，对于日应食不食和不应食而食术，刘焯也进行了十分认真的讨
论。他列出了9 种日应食不食和7 种日不应食而食的判据，每一种判据又
均与朔时月亮去交度分、所值节气和距午正时刻三要素相关。分析表明刘
焯所列16 种判据都定性地与月亮视差对日食影响的原理相符合，这是对张
子信当年发现的极重要的补充和发展。
第六，刘焯还对交食亏起方位作了论述，分为月亮在黄道南、北二种
情况，每一种情况又分为交食发生在观测者的正南、正东、正西、东南和
西南前后等7 种不同的方向时，亏食起始的方位、亏食的走向及亏食终了
的方位等内容。这是我国古代对交食亏起方位所作的最详尽的描述。
刘焯的这一整套交食推算法的创立，标志着我国古代的交食研究进入
了一个崭新的时代。与此具有同样划时代意义的发明，是他所创立的五星
位置计算的新方法。欲求任一时日（A）五星的黄道宿度，刘焯创立了以下5
个步骤：
（1）求出历元到A 的积日数，减去五星伏日数的一半，其差数以五星会
合周期除之，所得余数（B）是为A 与最临近的一次五星晨始见东方时刻（平
见日）间的时距。由于五星会合周期实际上是相当数量的实测五星会合时间
的平均值，故由之算得的平见日（A—B），可以认为是以五星和太阳均作匀
速运动为基础求得的。又以积日数除以回归年长度，所得余数（C）则为所求
年冬至夜半与A 的时距，由此亦可知A 所值的节气。
（2）求五星运动不均匀引起的改正值。在皇极历中给出了因所处节气不
同，五星平见日或超前、或滞后的时间改正表。以C 为引数，依一次差内
插法则可由这些表格算得相应的改正值（l0）。刘焯称A—B±l0 为常见日。
对这些表格的研究表明：刘焯对金、水二星运动不均匀性改正的描述只是
定性的；而对于木、火、土三星的近日点和远日点黄经测算的误差分别为
＋50。8°和…9。2°，＋26。2°和…18。8°，＋22。2°和＋22。2°；对于木、火、
土三星运动不均匀性改正的误差分别为1。6°，3。1°和2。4°。其精度还
是较低的。（3）求太阳运动不均匀引起的改正值。由日躔表依等间距二次差
内插法求算之，以C±l0 引数，它相当于前述计算T⊙值中的“平朔时刻”
值。刘焯称A…B±l0±T⊙为定见日（E）。
（4）求定见日五星所在黄道宿度（R）。皇极历以历元年冬至夜半时太阳
位于黄道虚宿一度，由此后推积年（自历元到所求年的年数）乘以黄道岁差
度，可得所求年冬至夜半时太阳所在黄道宿度（R0）。又以C±l0±T⊙为引
数，它相当于前述计算T*值中的“所求时日”值。则定见日太阳所在黄道
宿度为：R0＋C±l0±T⊙±T*。又已知五星定见日与太阳的度距（F）分别为：
木星14 度，火星16 度，土星16。5 度，金星11 度和水星17 度，于是
R=R0＋C±l0±T⊙±T*＋F。
（5）求所求时日五星所在黄道宿度（I）。以A…E 为引数，可由五星动态
表求得定见日到A 的五星行度值（V），于是
I=R＋V。
在皇极历以前各历法的五星动态表，均由五星晨见始，依次列出前顺、留、
逆、留、后顺、伏等动态所经的日数和所行的度数，它们均与这些动态所
值的节气无关。皇极历的木、土二星动态表与前相仿，而对火、金和水三
星的动态表则作了重大的改进：对于前顺和后顺2 个动态时段，均依它们
所值的节气不同，给出了不同的运动速率，这实际上就是虑及了这三个行
星运动不均匀性的影响。此外，在皇极历的五星动态表中，对各不同动态
时段的运动状况，还首次采用了等差级数的描述方法，这当然要比前代各
历的匀速运动描述法更切合五星运动的实际状况。如对于火星后顺时段，
其术曰：“初日万六千六十九，日益疾百一十分，六十一日行二十五度，
分万五千四百九”，其分母即“气日法四万六千六百四十四”（《隋书·律
历杰》）。已知等差级数求和公式为nh ＋
（m …
21）nD
，上术中n = 61 ，h
16069 110 15409
=
46644
，D=
46644
，代入求和公式得2546644
，正与术合。因此推
知，皇极历采用了等差级数的求和公式。最后我们还要提及刘焯在大业元
年提出的一项重要的科学建议。刘焯是一位浑天家，他以为盖天说据以推
算天地大小的夏至时日“影千里差一寸”这一基本数据是错误的。他指出
“寸差千里”的说法没有可靠的典籍依据，这是从一位经学家的立场予以
否定的。他又指出“今交、爱之州，表北无影，计无万里，南过戴日，是
千里一寸，非其实差”，就是说交、爱二州与地中阳城的距离均不及万里，
而夏至时二州日影长度为零，阳城日影长度为一尺五寸，所以应是约六百
里日影差一寸，这是从一般人都承认的阳城与交、爱二州的实际距离和影
长的事实予以驳斥。更重要的是，刘焯提出了进行检验的具体实测方案：
“请一水工，并解算术士，取河南、北平地之所，可量数百里，南北使正。
审时以漏，平地以绳，随气至分，同日度影。得其差率，里即可知。”（《隋
书·天文志》）这一方案从测量地点的选择，水平测量和时间量度器具和方
法的选定，到日影长度的测量必须异地同时进行等要求，考虑相当周密，
同时也是十分合理的和可行的。刘焯原本希望通过这一实测来彻底揭示“寸
差千里”的谬误，并作为改良浑天说的基础。可惜，他的这一科学建议未
被及时采纳，直到百余年以后，唐代的南宫说、一行等人才将其付诸实施，
进而取得十分重要的科学成果。
综上所述，刘焯的皇极历在一系列天文数据的测算、天文表格的编制、
数学方法（特别是等间距二次差内插法和等差级数法）、定朔法、交食推算
法以及五星位置计算法等方面，均取得了杰出的成就，它们或以精湛称著，
或以立新见长，从而把历法向数学化、精密化和合理化的方向推进了一大
步。皇极历的出现标志着我国古代历法已经进入了完全成熟的时期。可是，
皇极历作为一代名历而未被正式颁用，它的作者刘焯作为一代天文学大师
也命运多舛，这种极不公正的历史现象，不应该让它重演。
文献
原始文献
＇1＇（唐）李延寿：北史·儒林传，中华书局，1974。
＇2＇（唐）魏徵、令狐德■：隋书·儒林传，中华书局，1973。
＇3＇（唐）魏徵、令狐德■：隋书·律历志，中华书局，1973。
研究文献
＇4＇薮内清：隋唐■法史■研究，■京三省堂版，1944。
＇5＇李俨：中算家的内插法研究，科学出版社，1957。
＇6＇钱宝琮：从春秋到明末的历法沿革，见《钱宝琮科学史论文选集》，
科学出版社，1983。
＇7＇何妙福：岁差在中国的发现及其分析，见《科技史文集》第1 辑