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y4u y3u y2u yu u zu z2u z3u z4u
y4 y3 y2 y 无z z2 z3 z4
xy4 xy3 xy2 xy x xz xz2 xz3 xz4
x2y4 x2y3 x2y2 x2y x2 x2z x2z2 x2z3 x2z4
x3y4 x3y3 x3y2 x3y x3 x3z x3z2 x3z3 x3z4
x4y4 x4y3 x4y2 x4y x4 x4z x4z2 x4z3 x4z
图 1
（X＋Y＋Z＋U）2=X2＋Y2＋Z2＋U2＋2XY＋2XZ＋2XU＋2YZ＋2YU＋2ZU
中的2xy，2yz。等记入相应的格子中，而将不相邻的两个未知数的乘积如
2xu，2yz 的系数记入夹缝处，以示区别。图3 即是《四元玉鉴》书首给出
的“四元自乘演段之图”（为了方便，我们用现代通用的阿拉伯数码代替
了原图中的算筹）。如此记写的四元式，既可表示一个多项式，也可以表
示一个方程。
四元式的四则运算如下进行。
（1）加、减：使两个四元式的常数项对准常数项，之后再将相应位置
上的两个系数相加、减即可。
（2）乘：
1）以未知数的整次幂乘另一四元式，如以x，x2，x3，。乘四元式，
则等于以该项系数乘整个四元式各项再将整个四元式下降，以x 乘则下降
一格，x2乘则下降二格。以y 的各次幂乘则向左移，以z 乘则右移，以u
乘则上升。
2）二个四元式相乘：以甲式中每项乘乙式各项，再将乘得之各式相加。
（3）除（仅限于用未知数的整次幂来除）：等于以该项系数除四元式
各项系数之后，整个四元式再上、下、左、右移动。上述四则运算也就是
莫若《四元玉鉴》序言中所说的“阴阳升降，进退左右，互通变化，错综
无穷”。在当时中国数学尚缺少数学符号的情况下，朱世杰利用中国古代
的算筹能够进行如此复杂的运算，实属难能可贵。
朱世杰四元术精彩之处还在于消去法，即将多元高次方程组依次消
元，最后只余下一个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。其步骤
可简述如下：
1）二元二行式的消法
例如“假令四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元
二行式，这相当于求解
。 （7 ＋ 3z …z2 ）x ＋ （…6 …7z …3z2 ＋ z3） = 0，
。 （13 ＋ 11z ＋ 5z 2 …2z3）x ＋ （…14 …13z …15z2 …5z3 ＋ 2z4） = 0；
或将其写成更一般的形式
ìAx ＋ A = 0，
10
Bx ＋ B = 0，
。 10
其中A0，B1和A1，B0分别等于算筹图式中的“内二行”和“外二行”，都
是只含z 而不含x 的多项式。朱世杰解决这些二元二行式的消去法即是“内
二行相乘、外二行相乘，相消”。也就是
F（z）=A0B1…A1B0=0。
此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z 之值，代入上式
任何一式中，再解一次只含x 的方程即可求出x。
2）二元多行式的消法
不论行数多少，例如3 行，则可归结为
í
A x2 ＋ Ax ＋ A = 0， 1
。 2 10 （）
B x 2 ＋ Bx ＋ B = 0。 （）
。 210 2
以A2乘（2）式中B2x2以外各项，再以B2乘（1）式中A2x2以外各项，相
消得
C1x＋C0=0。q （3）
以x 乘（3）式各项再与（1）或（2）联立，消去x2项，可得
D1x＋D0=0。 （4）
（3），（4）两式已是二元二行式，依前所述即可求解。
3）三元式和四元式消法
如在三元方程组中（如下列二式）欲消去y：
Ay ＋ Ay ＋ A = 0， （）
。 2210 5
í 2
。 By ＋ B y 1 ＋ B = 0， 6
20 （）
式中诸Ai，Bi均只含x，z 不含y。（5），（6）式稍作变化即有
（A y 2 ＋ A ）y ＋ A0 = 0， 7
ì 1 （）
í
（B y 2 ＋ B ）y ＋ B0 = 0。 8
。 1 （）
以A0，B0与二式括号中多项式交互相乘，相消得
C1y＋C0=0。（9）。。
（9）式再与（7），（8）式中任何一式联立，相消之后可得
D1y＋D0=0。（10）。。
（9），（10）联立再消去y，最后得
E=0，。。 （11）
E 中即只含x，z。再另取一组三元式，依法相消得
F=0。（12）。。
（11），（12）只含两个未知数，可依前法联立，再消去一个未知数，即
可得出一个只含一个未知数的方程，消去法步骤即告完成。
以上乃是利用现代数学符号化简之后进行介绍的，实际上整个运算步
骤都是用中国古代所特有的计算工具算筹列成筹式进行的，虽然繁复，但
条理明晰，步骤井然。它不但是中国古代筹算代数学的最高成就，而且在
全世界，在13—14 世纪之际，也是最高的成就。显而易见，在一个平面上
摆列筹式，未知数不能超过四元，这也是失世杰四元术的局限所在。
在欧洲，直到18 世纪，继法国的■．贝祖（Bézout，1779）之后又有
英国的J．J．西尔维斯特（Sylvester，1840）和A。凯莱（Cay…ley，1852）
等人应用近代方法对消去法进行了较全面的研究。
2．高阶等差级数求和
在中国古代，自宋代起便有了关于高阶等差级数求和问题的研究。在
沈括（1031—1095）和杨辉的著作（1261—1275）中，都有各种垛积问题，
这些垛积问题有一些就是高阶等差级数问题。另外，在历法计算过程中，
特别是在计算太阳在黄道上的精确位置时，要用到内插法。在宋代历法中，
已经考虑并用到三次差的内插法。这也是一种高阶等差级数的求和问题。
朱世杰在《四元玉鉴》中又把这一问题的研究进一步深化。据研究，
朱世杰已经掌握了如下一串三角垛的公式，即
茭草垛
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 。 ＋ n = r = nn ＋ 1
（），
。 21
！
r=
n1
三角垛
1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10 ＋ 。 =。 1
r（r ＋ 1）
2
r=
n1
=
3！
1
nn ＋ 1n ＋ 2），（又称“落一形垛”）
（ ）（
撒星形垛
1 ＋ 4 ＋ 10 ＋ 20 ＋ 。 =。 1
r（r ＋ 1）（r ＋ 2）
3
=
41
！
n n （ ＋ 1）（n ＋ 2）（
rnn
=1
＋ 3），（又称“三角落一形垛”）
三角撒星形垛
1 ＋ 5 ＋ 15 ＋ 。 =。 1
（r ＋ 1）（r ＋ 2）（r ＋ 3）
4
= 1
nn （ ＋
rn
=
11）（n ＋ 2）（n ＋ 3）（n ＋ 4），
5！
（又称“撒星更落一形垛”）
三角撒星更落一形垛
1 ＋ 6 ＋ 21 ＋ 。 =。 1r r （ ＋ 1）（r ＋ 2）（r ＋ 3）（r ＋ 4）
5
1
（
rn
=1
）。
= nn ＋ 1）（n ＋ 2）（n ＋ 3）（n ＋ 4）（n ＋ 5
6！
从中不难看出前垛的求和结果恰好是后垛的一般项，即前垛的各层累计的
和刚好是后垛中的一层，因此朱世杰常把后一种垛积称为前一垛积的“落
一形垛”。这串公式可用一个公式来表达，即
。 1
rr （ ＋ 1）（r ＋ 2）。（r ＋ p …1）
1p！
rn
=
=
（p ＋
11）！
（ ＋ 1n ＋ 2）。（n ＋ p）
nn ）（ 。 （A）
当P=1，2，3，4，5 时，（A）式就是上述五个公式。
除（A）式之外，朱世杰还已掌握了
。 1
rr （ ＋ 1）（r ＋ 2）。（r ＋ p …1）·r
1p！
rn
=
（p ＋
12）！
（
= nn ＋ 1）（n ＋ 2）。（n ＋ p）＇（p ＋ 1）n ＋ 1＇。
（B）
当P=1 时称为四角垛，即
rr = （ ＋ 1 2n ＋ 1 ；
。 · 1nn ）（ ）
3！
当p=2 时称为岚峰形垛，即
。 1 1（ ）（ ＋ 1 ；
r（r ＋ 1）·r = nn ＋ 1n ＋ 2）（3n ）
3！ 4！
当P=3 时称为三角岚峰形垛，即
1
。 3！
5！
r r （ ＋
（
1）（r）（
＋ 2）·r
＋ 1）。
。
= 1
nn ＋ 1n ＋ 2）（n ＋ 3）（4n
当然，《四元玉鉴》中也还有一些其他类型的垛积问题。
由于朱世杰已经掌握了公式（A），掌握了一串三角垛公式，这使他有
可能超越前人，提出高次招插法公式，从而有可能解决任何一类高阶等差
级数的求和问题。《四元玉鉴》“如象招数”门最后一问中提出了一个需
用四次差（即四次差相等，五次差等于0）的招差问题。如以现代符号记
述，以△1，△2，△3，△4 表示一差、二差、三差和四差，朱世杰相当于
给出了招插公式：
fn = nD1 ＋ 1
nn （ …）D2 ＋ 1（ …）（n 3
（） 1nn 1 …2）D
2！ 3！
41
！
nn …）（n …2）（n …）D4 。
＋ （1 3
这是一个有关计算招兵人数的问题。朱世杰的解法是“求兵者：今招为上
积，又今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积为三积，
又今招减三为三角落一积为下积，以各差乘各积，四位并之，即招兵数也”，
所描述的刚好就是上述公式。
因为朱世杰指出了上述公式各项的系数，刚好依次是一串三角垛的
“积”，从这一点出发不难推断朱世杰是可以将其推广至任意高次的高阶
等差级数和招差问题上去的。
在西方，是J。格雷戈里（Gregory，1638—1675）最先对招插法进行
了研究，直到牛顿的着作（1676，1678）中才出现了关于招插术的一般公
式。当然牛顿的公式采取了近代数学的形式，而且用途广泛，但朱世杰的
首创之功也是不可泯灭的。
朱世杰在数学方面的贡献并不局限于上述两点，例如《算学启蒙》中
所列各种歌诀、口诀（包括除法口诀）均已十分齐备，这为计算工具由筹
算到珠算的过渡创造了条件。但四元术和高阶等差级数求和问题两方面的
成就，仍显得十分突出，由于这两方面成就的出现，使到高度发展了的宋
元时期的中国数学，更放异彩。
清代数学家王鉴说，朱世杰“兼秦（九韶）、李（冶）之所长”，罗
士琳也说他是“尤超越乎秦、李之上”。清代末年还有人评论说“中法以
《四元玉鉴》为诣极之书”�