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，那么大家看，刚才这个问题就变了，变成这两个函数，谁比谁大的问题。大家注意，第一个函数，它是椭圆的上半部分，第二个的图形呢，它是一条直线，那么这个问题就变成了这条直线和椭圆相交，然后只要看看那两个图像的交点，就把这个题很简单地解出来了。本来是一个解不等式的问题，但是构造两个函数之后，通过求解交点，就转化成一个等式的解法，这是数学中的一个巨大的变化。大千世界相等是短暂的，不等是永恒的，但是利用了这种函数思想，就能够抓住相等的那一刹那，解决永恒的不等的问题，它的智慧就在这儿。第二种方法简洁，解法正确率高，更重要的是，这第二种解法体现出数学的一个非常重要的思想，就是数形结合。
如果这个题再做变化，比如说我要是把那个…1，偷偷地换成一个a，那么你会发现，刚才提供的第一种解法，就无能为力了。因为那个a是啥呢？这个讨厌的a，它变化多端，每一次变化都给这个不等式的解法带来灭顶之灾，但是你要利用第二种解法，那么这个问题就好解决了。构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x＋a，刚才讲过，y=8－2x2，它其实就是椭圆的上半部分，y=x＋a是一组平行直线，它的斜率是1，随着a的变化，那条直线在不断地变化。
这个题在高考中，应该是一种比较有难度，而且也非常常见的题目，就是分类讨论。我们通过这个图形一看，就可以分成四段来讨论，一目了然。通过这个题，我们可以看到，方程是数学上非常核心的概念，可以在函数的观点下，和不等式统一起来，这就是函数在数学中的重要性。一方面，要解决的具体问题一旦归结为函数，就可以把一些局部的问题，拿到高瞻远瞩的全局上去解决，所以局部的问题就变得很简单；另外，能够把静态的问题，放到波澜壮阔的动态的过程中去研究，使问题变得简单，比如说那个解不等式的问题。
数学其实很好学（5）
有了这样的一个背景，这个题可以随意变。通过观察图像，得出了a
再看一个题，还是各种复习材料上都会有的一个题目：
y=mx2＋43x＋nx2＋1
这个函数的最大值是7，最小值是…1，求m，n。我经常给学生讲的一句话，叫“上帝让谁死亡，必先让谁疯狂”，这个现实生活中的道理，在数学上也有恰到好处的应用。大家看这个题，这个函数中有四个字母，一个x一个y，一个m一个n，那么我们现在要求m，n。我要做的就是怎么能把x和y消掉而后快。大家看，我先把x2干掉，怎么干掉呢？我得先让x2疯狂起来，于是把分母乘过来。乘过来以后，x唱主角了，把这个函数整理成一个关于x的二次方程，x高兴了，你看我多厉害，这个方程竟然是我的一个二次方程，岂不知大难临头了，然后怎么办？面对这个题目，我们采取什么措施呢？因为这是二次方程，它恒有解，所以判别式大于等于零。你看x没了，从这个判别式中，怎么再去寻找x2的踪影呢，找不着了吧？所以这个不等式现在就剩下m，n还有y，我们要求m，n，就得把y消掉，怎么消呢？上帝让y死亡，必先让y疯狂，所以重新打开整理，于是这个题变成了y的一个二次不等式，这个y高兴了，你看这是关于我的一个一元二次不等式，其实大祸已经来临了。你看y2－（m＋n）y＋mn－12≤0，这是关于y的不等式。注意题目，这个函数的最大值是7，最小值是…1，这说明了y的最小值是…1，最大值是7，那就说明，这个不等式的解是＇…1，7＇，就意味着这个二元一次方程的解，一个是…1，一个是7，把…1和7代入，y没了，把…1代入得到m和 n的一个方程，把7代入又得到m和 n的一个方程，这两个方程一联立，m，n搞定了，这是一种做法；或者根据韦达定理，两根之和等于…1，两根之积等于7，那么m和n的方程也就出来了，我们解了这个方程之后，便会把m，n求出来。
这一个小小的片段，就体现了函数这种工具在数学中的重要性。函数是数学上一个永恒的话题，所以每年的高考，对函数这个内容，老师是情有独钟，每年必考，而且考的分量也很重，因此在学习的过程中，一定要高度重视函数的问题。我们研究的问题，一旦转化为函数，那函数的重要性质，例如它的单调性，它的奇偶性，它的周期性，它的凹凸性，便有了用武之地；在数学上占有比较重的分量的数列，又是一类特殊的函数。我通过刚才这个例子想表达的是，在高中阶段，只要能学好函数，便把握住了数学里的一个非常灵魂的东西。
高考考什么（1）
高考其实是有一定周期的选拔性考试，出题内容有规律可循。
在高考命题专家的眼里，高考是有一定周期性的，经常会有一些轮回，其变化又与高等学校的专业课程的设置有关，所以高考不仅是选拔学生，同时还得有利于学生到了大学以后的学习。
从表面上看，高考命题有很大的随意性，但是，在高考专家眼里，高考命题有相当的确定性，看似扑朔迷离，其实规律蕴含其中。所以认真研究考试说明，认真研究近几年的高考题，就可以发现那种看似无形却有形，犹抱琵琶半遮面的高考规律，从而引领学生脱离题海，走向高效的高考复习之路。
如果不去分析高考题的特点，不去琢磨高考题的规律，一味地在题海战术里打拼，结果学生累得头脑昏昏，教师也累得叫苦连天，但是最后的结果往往是，一拿着高考卷子，老师感叹这一年的力白出了，学生感觉高三这一年，似乎就是不做那么些题目，也能得这么些分。这些都说明我们由于一味地去搞题海战术，竟然把最重要的研究高考动向、高考规律这件事给耽误了。
利用考试说明摸清高考内容
怎样提高高考的复习效率呢？我觉得应该做到的第一点，就是认真落实考试说明。考试说明是高考唯一依赖的大纲，高考的题型分布、难度分布、考试重点、考试难点，都明明白白地写在考试说明中。
高考被定义为一个选拔性的考试，它的特点就是要让前20％的人拉开档次，所以高考题肯定是有相当难度的，对这个不要抱有任何侥幸心理，说这个高考题要是简单了怎么办。另外，国家规定高考题的难度系数应该维持在055左右，所以如果某一年由于把握不准，题目出得简单了，第二年肯定要调整一下，这个调整是围绕着高考的难度系数055进行调控的，这些信息都写在了考试说明中。所以高考之前，进入3月份，各个省市的考试说明都已经颁布了，那么我们应该抓住考试说明，认真落实到高考前的复习准备中去。
具体地应该做三项工作：第一，认真学习考试说明。不光是老师，学生更应该掌握考试说明。如果让学生知道该怎么考，他就可以根据自己的情况，在复习的过程中审慎地加以取舍，根据自己知识点的掌握情况，搞清楚侧重点，加以定点突破。比如说有些题目，他感觉高考肯定不考，那么就可以放弃；有些题目，根据他的学习体会，这种题目一定要考，所以他就得认真重视；有些题目，虽然在高考范围内，但是已经超出了他力所能及的范围，那么他就可以暂时放弃。但是这个考试说明颁布以后，很多老师自己都不看，所以学生就更不知道，于是就顺着自己固有的教条的甚至是落伍的那一套思路，领着全体的学生走了一条黑暗的道路，这种损失是非常大的。
在人大附中，高考大纲一旦颁布，我们这个教研组的老师就坐到一起，集体研究、集体学习，然后根据大家共同的学习心得集体备课，找一个专家，再把全体学生召集在一起，领着学生一字一句地去学习、分析、解读这个考试说明。经过多年实践，我们感觉到学生参加这样的一种活动是非常有收获的。如果没有这个条件，那么作为老师，你完全可以利用你的课堂，领着学生逐字逐句地去分析这个考试说明。这对学生的后续复习行为的指导意义也是非常有用的。我们在学习考试说明的过程中会发现，考试说明对很多问题都做了明确的规范。比如说考试说明中明确强调，高考要“突出考察通性通法，淡化特殊技巧”。有时候听一些老师讲课，为了追求一题多解，就给学生总结了很多方法，甚至有些老师是为了方法去设计题目，但是这种方法本身不是通性通法，不在高考要求之列，所以不能为了方法、为了技巧去探讨这些东西，应该是围绕着高考的要求来展开。
高考考什么（2）
第二，要看今年的考试说明和去年的考试说明相比，它的变化在哪儿。每年的考试说明，和上一年相比，都有一些新的变化，调整的地方，往往就是命题专家认真考虑要出题的地方。我记得有一次平时的考试，数学的一个选择题，四个选项都没有对的，结果此题无解，怎么办呢？就找了一个正确的答案，告诉同学们哪一个题目，把那个答案A改了一下，其实A本身并没有矛盾之处，我们把它一改，聪明的学生连考虑都不用考虑，答案就是A了，此地无银三百两。在这个地方加以修改，往往隐含着一定的动机，所以这种时候，还真得引起重视。北京市2009年的考试说明，和2008年相比，我看有了几个变化，语文变化了3个地方，英语增加了101个单词，数学是后边的那个样板题做了一些微调，其他省市的考试说明，我看都有了一些相应的变化。所以人大附中的做法就是，新的考试说明出来了，一个老师读新的，一个老师拿着去年的，把那些有所变化的地方，哪怕是一字一句，都找出来，因为其中潜藏着命题专家的一些动意，应该认真分析。
第三，别光看考试说明，读完考试说明之后，你得看看它和近几年高考题的吻合程度。因为高考题是围绕着考试说明来落实的，所以应该分析近5年的高考