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边际效用并非如人们有时认为的那样，是最后一个单位的效用；否则，就会引起下面的悖论。设X代表桔子，并且所有桔子都一样。既然所有桔子都一样，那么，每个桔子的效用必定相同。如果边际效用是最后一个桔子的效用，那么，它同样也将是所有其他桔子的效用，所以，总效用将等于边际效用和桔子数量的乘积。显然，这不是定义边际效用的一种有用的方法。总效用等于平均效用和桔子数量的乘积，即这是一个平均效用的定义，和我们平时使用的平均一词意思一样。边际效用定义为“总效用的变化率”，它是最后一个桔子的效用加上又增加一个桔子时前面各个桔子效用的变化。它是数量的每单位变化所引起的总效用的变化率，而不是一个边际单位的效用。
还有，更为重要的是“递减边际效用”的概念。古典经济学家们（斯密、李嘉图等等）在寻求解释价值时，最终得到的结论是：需求和效用不是价值的一个决定因素。这一结论与钻石－水悖论密切相关。在得出这结论的过程中，他们的理由是：水比钻石更有用，然而钻石比水更昂贵；因此，效用不能用来解释价值。在拒绝将效用作为价值的一个尺度的同时，他们提出了价值的劳动成本论，在这一理论中，效用被作为价值的一个条件或前提，但不是作为它的一个尺度。
这里的一个十分重要的混淆是不能将总效用与边际效用区分开。另一个较为次要的困难是不能确定单位。显然，存在一定数量的水可能比一定量的钻石要贵的情况。单位问题且不谈，古典经济学家们未能看到而渐减边际效用论使人们看到的是，来自少量增加的水或少量的另一些钻石的效用的增加。因此，钻石的边际效用可能很高（因为钻石很稀少），而水的边际效用相对较低（因为水很丰富）；结果，钻石的价格相对于水的价格可能就很高；然而，水的总效用可能比钻石的总效用大得多。图2．11显示了这一点。
钻石－水悖论的解决使新古典主义者们能够把需求作为价格的一个决定因素。然而，边际效用和递减边际效用的胜利在某种意义上走得太远了。尽管逐渐减少的边际效用能够说明消费中缺乏专门化这一点是真实的，但决不能由此而认为，我们必须依靠递减边际效用概念才能解释这一观察结果或合理地说明它。
现在我们来说明，如何从一个的效用函数和预算约束得出其需求函数。假设有某种函数U（X，Y，Z，…）。没有预算约束，个人就会不断增加他对X、Y、Z、…的消费，直到它们的边际效用变成零。为了使问题简化，让我们假定，这个人已经决定如何分配他的资源（即劳动力），并且因此已经有了一些收入可供支配。让我们在假设个人面临着既定的价格，Px，Py，Pz…，而其货币收入是I。由此可得到其预算约束：
XPx＋YPy＋ZPz＋…＝I，
其中X、Y、Z是每种商品的数量，上式概括了个人的资源限制条件。既然需要在XPx＋XPy＋ZPz＋…＝I的约束条件下使U（X，Y，Z…）极大化，则可以运用拉格朗日乘数法来求解。因此，我们写出：
U（X，Y，Z…）＋y（XPx＋YPy＋ZPz＋…－I）。
就这一表达式对X，Y，Z，…和y求导，我们得到：
Ux＋λPx＝O
Uy＋λPy＝O
Uz＋λPz＝O
XPx＋λPy＋ZPz＋…－I＝O
从上式可得Ux/Px＝Uy/Py＝Uz/Pz＝…＝λ。此式的经济含义是，每一美分价值的X商品的边际效用必等于同样数量Y、Z、…等商品的边际效用。每一美分的这种共同的边际效用等于λ，对此马歇尔称之为货币的边际效用。表述这一结果的另一种方式是Ux/Uy＝Px/Py。这一式子的解释是，Ux/Uy代表个人愿意以Y代替X的比率，而Px/Py则代表他能够在市场上以Y代替X的比率。均衡条件是：个人愿意以Y代替X的比率等于他能够以Y代替X的比率，因为，如果他都愿意以比他在市场上通过放弃一个单位的X所能得到的更少单位的Y来代替一个单位的X，那么，这样做对他将是有利的，反之亦然。
这一结果可以用图2．12中的图形来说明。在这个例子中，我们假定X的边际效用不依赖于Y的数量；即，两种商品的效用是互相独立的。水平轴上的单位是每一美分的X或Y的价值，等于I的线段代表个人的收入。当消费者这样来分配他的收入，即，使他得自每一美分价值的Y的效用等于他得自每一美分价值的X的效用时，他就是处在均衡状态。从这一图式上可以看出，若没有渐减的边际效用，则个人既可能专门消费X，也可以只去消费Y。这一点之所以成立只是由于我们在前面假设了相互独立性。
图2．13表明了一种相互依赖的情况。在这个例子中，即使存在着递增的边际效用，我们也不一定能得到在消费方面的专一化。
递减的边际效用将使需求曲线具有一个负斜率，但是需求曲线有一个负斜率这一事实并不需要递减的边际效用。
为了说明需求曲线的导出过程，现考虑如下的效用函数：U＝logX＋logY。假设Px、Py和I是给定的。最大化的条件就是Ux/Px＝Uy/Py。现在，Ux＝1/X，而Uy＝1/Y。因此，1/XPx＝1/YPy。由此可得XPx＝YPy。然而，预算约束是XPx＋YPy＝I。故有2XPx＝I及X＝I/2Px，这就是需求曲线。
我们刚刚看到了，需求函数X＝I/2Px是怎样从效用函数U＝logX＋logy导出的。这一需求函数具有这样的性质，即花在X商品上的货币量是一个不变的和数。这条需求曲线因此是一条等边双曲线。还需注意的是，这里的效用函数是一种X和Y的边际效用相互独立的函数。Y的边际效用仅依赖于Y的数量，而X的边际效用仅依赖于X。上述效用函数还具有每种商品的边际效用递减的性质。
现设效用函数为U＝XY。在这一函数中，X的边际效用等于Y（Ux＝Y），而Y的边际效用等于X（Uy=X）。从图形上看，这一情况可以表示为如图2．14所示的情形。在这一函数中，如果X增加，X的边际效用仍然不变，而若Y增加，Y的边际效用也不变。这一函数在两个意义上与前一种函数不同：不再有递减边际效用，而存在着相互依存性。然而，由这一效用函数所产生的需求函数是一样的，即X＝I/2Px。
现在考虑一下第三种效用函数，U＝X2Y2。在这个例子中，X的边际效用（Ux）等于2XY2，而Y的边际效用（Uy）为2YX2。在这一函数中，不论对X还是Y来说，都存在着相互依存性和递增边际效用。从上述式子中求需求函数，我们得到X＝I/2Px，这再次与我们在前两种情况中所求得的一样。
在前面的三种函数中，我们设定了三种情况，即：相互独立性和递减边际效用，相互依赖性和不变边际效用，以及相互依赖性和递增边际效用。然而在每种情况中，我们最终都得到同样的需求函数。这种表面上的矛盾可以用另一种方式来陈述。我们看到，人们把他们收入的一半用于X商品，这就是当需求函数为X＝I/2Px时的情形。然而却存在三种不同的效用函数可以用来说明这一观察到的现象的合理性。让我们设计一个表格来说明，商品的不同组合是怎样依这些效用函数而排列的。函数Ⅰ：U＝logX＋logy（数字均取自然对数）；函数Ⅱ：U＝XY；函数Ⅲ：U＝X2Y2；而且再增加一种第四种函数，函数Ⅳ：U＝√X＋（√Y/2）。
表2。3
XYⅠⅡⅢⅣ
110111。5
120。693241。707
131。099391。866
210。693241。914
311。099392。232
221。3864162。121
从表2．3中可以看出，效用函数Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都以同一种方式将商品组合进行排列，而Ⅳ的排列方式不同。不同的效用函数对这些商品组合给予不同的数值；但当考虑任何两组商品时，若函数Ⅰ表明，一组商品的效用高于另一种，函数Ⅱ和Ⅲ也将表明同一种情形。既然按照通常的市场行为，即在确定性条件下的行为，个人只表现出他是否愿意要一级商品而不愿要另一组，但从不表示他要多少，那么，对于这三种效用函数产生同样的需求函数，就不必惊奇了。函数Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都是（XY）的函数，因此，如果我们称U＝XY为一个效用函数的话，其他两个就可以写成U的函数，即F＝logU and G＝U2。但是，函数Ⅳ则不能表示为U的函数。这一点可以推广，即如果某种U＝f（X，Y）和个行为相一致，那么，任何其他函数U*＝F［U（X，Y）］也是如此，假设dU*/dU＞O。这两个条件保证了，所产生的各种效用函数将按同样的方式排列各组商品。用下一节的词汇说，这三种效用函数将具有同一条无差别曲线，即使它们赋予这条曲线以不同的数值。
无差别曲线理论
无差别曲线方法是简明地概括偏好的另一种工具。考虑任何一个商品空间XY，并考虑在这一商品空间中标价为P的X和Y的任何一组。这一商品空间如图2。15所示可分为四个象限。让我们假设，个人宁愿要每种商品中较多的一份而不愿要较少的一份。那么，在标为3的区域内的任何一点显然都是比P点更能满足偏好的，因为它表示或者可多得到些X，或者可多得到些Y，或者两者都能多得些。根据同样的道理，就P点代表着或者是更多的X，或者是更多的Y，或者两者都更多些而言，P点显然比标为1的区域内的任何一点都更能满足偏好。至于第2和4象限中的点，我们可以试问我们正在决定其偏好的个人，他是如何安排各点相对于P点的位置的。我们可以将他的各种选择分别标为＋或标为－。以这种方式，我们可以将区域2和4中的点分别加以＋或－号。在各＋号和－号之间将存在某种边界线，在此线上的各点代表着对他来说是无差别的各种组合，而这条线我们可以称作无差别曲线。我们