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昧�1达卡（相当于今天的40美元）。1达卡乘以1/2的可能性得到的期望值是1/2达卡。
这种推理只适用于第一次扔出来后硬币正面朝上的情况，还有很多其他的方式可以赢钱。假如第一次扔硬币，彼得输掉了，那么他会再扔。如果第二次投正面朝上，彼得就会赢得2达卡。赢得2特卡的可能性是1/4，因为包含了第一次扔反面朝上（1/2）和第二次扔反面朝上（1/2）的可能。2达卡乘以1/4的可能性得出的期望值是1/2达卡。
同样地，赢得4达卡的可能性为1/8，期望值是1/2达卡；赢得8达卡的可能性是1/16，赢得 16达卡的可能性是1/32……所有这些不同的场景最终得出的期望值都是1/2达卡。所以保罗最终期望所赢得的数目是以1/2达卡为一般项的无穷级数，即他赢得的财产是无穷的。
玩这个游戏会使你无限富有吗？不会。如果你不相信，你可以试着扔一枚硬币，看看你会赢多少。
对于任何一个想用数学原理来决定在现实世界如何操作的人来说，无限期望都是一个很严重的问题。它意味着为获得玩这个游戏的权利，无论投入多少资金都是值得的。如果赌场要收你100万美元来玩这个游戏，理性的客户应该马上冲过来加入，至少看上去是这样。如果，赌场要收一万亿美元，结果也是一样。
你可能会更愿意把赌注看作是一只股票的初次公开发行。当对一家新公司进行评估时，人们一定会考虑各种盈利的机会，以及不同的可能性。但无论如何，他们最终会根据自己的预测，拿出一个合理的价位来购买股票。伯努利的例子说明，在一些情况下，传统的推理会使人们发现有一些股票值得他们不惜一切代价去购买。
无论是尼古拉斯还是丹尼尔 伯努利都知道这是荒谬的。丹尼尔这样写道，
虽然标准计算显示保罗的期望值可以无穷大，但是，我们要承认任何足够理性的人都会很高兴地以20达卡的价格把这个机会卖掉。事实上，虽然人们认可这个计算方式的结果，保罗赢的机会无穷大，但是没有人会愿意出高价来购买。
丹尼尔用俄语发表了他的上述言论。这个虚拟的赌注被人们称作〃圣彼得堡赌注〃或〃圣彼得堡悖论〃。从此之后，不断开始有人关注这个问题。约翰 梅纳德凯恩斯在1921年发表的〃概率论〃提到圣彼得堡悖论是每一位20世纪经济学家的精神大厦的组成部分。在诺伊曼和摩根斯坦的〃游戏理论和经济行为〃一书以及在肯尼斯 阿罗、米尔顿 纲雷德曼和保罗 萨缪尔森的论文中，伯努利的赌注论都曾经被提及。
这个矛盾可以很容易被解决。我们要注意到，彼得必须要有足够多的财富才能最终拿到游戏的潜在奖金。没有人拥有无限的资产。因此，无穷级数的大部分条件是无法被满足的。赢得10005的奖金机会很小，小得都不值得你去计算。因为事实上没有人能够出得起这么高的奖金。
假定一家赌场出的奖金限额在10亿美元。那么赌注的价值会是多少？答案是：要少很多！假定开始的奖金是1美元，那么扔到31次正面朝上的奖金应该是 1073741824美元。所以比较理性的做法是，赌场在第30次投掷后就结束游戏，将10亿奖金颁给任何一位得到了30个正面向上的人。然而，事实上这个被删减了的游戏期望值只有15。93美元。
这样计算就合理多了。赌注不可能是无限的，只是几个美元而已。对于这个谜团的解释，即使是最顽固的现实主义者也不能提出什么异议。但是，哲学家、数学家，甚至是经济学家，都不肯接受这个解释。许多人认为，可以假定彼得有无限的财富。但是谁会相信，彼得愿意不惜任何代价去玩这么一个游戏呢？
第78节：第四章（3）
丹尼尔伯努利认为会有这样的人。他提出的另外一个解释，对未来的经济学思想影响很大。伯努利把钱和人们赋予钱的价值分开。对于亿万富翁来说，1000美元就像是零花钱一样；而对于一名乞丐，1000美元是一笔巨大的财富。所以获利（或损失）的价值取决于这个人本身的资产有多少。
你可能会想，这一点我早就知道了。是的，但是伯努利真正的贡献在于他创造出了一个词汇。在英文中，这个词被译作〃utility〃效用。这个词可以用来描述人们赋予钱的主观价值。伯努利声称，人们本能地会选择争取最大的效用，而不一定是最多数目的钱或是达卡。〃事物的价值一定要以它的价格为基础，〃伯努利写道，〃而不是由于其所带来的效用决定。事物的价格只取决于事物本身，对所有人来说都是一样。但是，效用，对于每一个人来说是不同的，取决于每一个人在不同情况下做的不同判断。〃
对于一个富人和一个穷人来说，1美元的价值差异有多大？唯一诚实的答案是：〃由具体情况决定。〃例如，伯努利勾勒了这样一种情况，一位入狱的富翁只需要2000达卡就可以获得自由。和暂时并不需要这笔钱的穷人相比，这个富人会赋予这2000达卡更高的价值。
当然，这是一种人为创造出来的困境。大多数的时间里，富人心目中2000达卡的价值要低于穷人心目中对这笔钱的价值认定。伯努利提出了拇指法则。〃……在非正常的情况下，〃他写道，〃任何财富的小幅度增长所带来的效用和之前拥有的财物数量成反比。〃
换句话说，如果你朋友的财富是你的两倍多，那么当他赢得了100美元的时候，他的喜悦可能只有你的一半。同时，当他拿到晚餐的账单时，他的心疼度也只有你的一半。
你可以画一张效用和财富的关系图。如果人们对财富的价值认定和他们的财富成正比，那么这张图画出来就应该是直线状的。根据伯努利的拇指法则，这应该是个曲线图。这说明了一个事实，要想使富人和穷人同样快乐，他们获利的资金应该是有差异的。下面的曲线图（已经包含了伯努利法则：获利价值与原有财产成反比）表现出了对数功能。因此，伯努利的拇指法则也被称为对数效用。
伯努利使用效用这个概念解决了圣彼得堡矛盾。假定保罗对所获利润的产生的成就感与他本身的财富成反比，那么他对赢来的两个达卡的价值认定并不一定是两次赢得一达卡的价值累加。你赢来的第二个达卡，就像你获得的第二个百万美金，绝不会像你第一次得到时那么欣喜万分。
这就意味着无限级数项需要向下调整从而将大额获利所产生的回报纳入考虑，尽管这个数值是在逐渐缩小。虽然这个序列是无限的，但是个比较令人满意的合并序列。你可以1/2 1/4 1/8 1/16…一直加下去，但永远不会得到1，即便这个序列是无限延伸的。伯努利的期望序列也通过这个方式进行了调整，也合并出了一个有限而又适当的数值。
在随后的几个世纪里，经济思想家们迷上了对数效用。英国的经济学家斯坦利杰文斯（1835…1882）声称对数不仅可以应用于财富，还可以应用于消费品。〃当任何商品的数量如人们消费的普通食品的数量增加时，最后一部分商品所带来的效用或收益在程度上是减少的。〃这也是为什么那些〃你可以把所有东西都吃掉〃的餐馆能够在行业中长盛不衰。莱昂纳多萨维奇在1954年称，对数曲线是〃每个人的效用函数原型〃，是一种合理近似，是计算大多数人在大部分时间里如何根据自己碰到的美元数额来评价其拥有的财富价值。
并不是每个人都同意这种观点。到萨维奇时代，对数效用已经呈现出古板陈旧的气象。认识到对数效用不能够满意地解释圣彼得堡悖论，这是对该理论的一次沉重打击。19世纪30年代，维也纳的数学家卡尔门格尔指出，圣彼得堡赌注稍作修改，就可以使伯努利解释不成立。简单地说就是增加赌注。连续地抛掷赌注为2、4、16、256达卡、……而不是1、2、 4、8达卡，你的奖金增加得如此快速以至于期望效用又是无限的了。
第79节：第四章（4）
门格尔的这一反例不是以美元或达卡而以效用单位（utiles）来计算赌注的奖金。效用单位是效用的假设单位。根据你投掷的次数，决定你将赢得1、2、 4、8……个效用单位。赌注的价值，用期望效用来衡量，是无限的。理性人大概会放弃已有的一切来玩这个游戏，这仍然有点荒唐，因为他有可能仅赢得极少的效用单位。
从这里我们应该得出什么推断？可能没多少。保罗 萨缪尔森相信，圣彼得堡悖论种类繁多的版本〃对经济学家而言，没有任何可怕之处〃。问题的关键在于伯努利的效用函数从心理角度来看是不现实的，尤其是处于极端富有的情况时。
更好的解决办法是〃幸福水平〃。这大概就是效用的上限。算一下你需要多少钱可以满足你所有物质需求或欲望，那些钱，或相应的效用，就是幸福水平。
效用上限的作用类似于赌场能够付出的美元上限，在合理且有限的价值处截断无穷级数。
对数效用函数没有幸福水平。图中的曲线向右上方变得平缓，但一直保持上升。我们举个例子，这意味着对具有对数效用的人来说，将现有财富再增加10倍，幸福感是一样的。将你的净财富从1万美元增加到10万美元，与从10万美元增加到100万美元，或从100万美元增加到1000万美元时，你获得的幸福感是一样的。
这听起来，也可能有道理也可能没道理。在这个10倍财富的事例中，有一点难以理解。拥有100亿美元而不是10亿美元，是不是更有优势？当然如果你只关心〃生活得好〃，则不会更有优势。拥有10万亿美元比拥有1万亿美元，会不会带来更大的荣耀？如果你只希望成为地球上最富有的人，你当然也不觉得这会带来更大的荣耀。
对数效用也不是一个好的贫