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星位置的长编）
《古今历书》24卷（可能是对前代23家历法连同新历本身共计24家历
法的异同、疏密进行比较研究的论集）
《天竺九执历》1卷（关于印度历法的译著及其研究）
后28卷的内容已佚而不存。
从大衍历的目录中可以看出，大衍历有对古今中外历法的详细考证、评
议与研究，有对新历法立论、数据、表格以及计算方法的详细说明，有依据
新历法推算而得的具体结果，构成了十分严谨和完善的有机整体。
从 《开元大衍历经》的七章编次法来看，内容系统，结构合理，逻辑严
密，在明朝末年以前一直被沿用。
大衍历最突出的贡献是比较正确地掌握了太阳在黄道上视运行速度变化
的规律。
中国古代的天文学家一直认为太阳运动的速度是均匀的，他们把黄道等
分为365。25度，认为太阳每天均速地走过一度。从这里出发，把全年365
天多均分为24个节气，叫做“平气”或“恒气”。
在古希腊，天文学家们却早就发现太阳的运动是不均匀的 （公元前2世
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纪、依巴谷）。
这是因为，中国古代的浑仪主要以测量天体的赤道坐标为主，当用浑仪
观测太阳时，太阳每日行度的较小变化往往被赤道坐标与黄道坐标之间存在
的变换关系所掩盖。
刘洪（129—210）在关于交食的研究中，发现对交食食时的预推和实测
纪录之间的时间差与交食所发生的月份有稳定的关系，但是他没有意识到这
是由于太阳运动的不均匀性所造成的。
张子信（6世纪20—60年代）经过30年的观测，发现了太阳运动的不
均匀性，他说，太阳在春分后运行的就慢，秋分后就快，他还绘制了我国最
早的一份太阳运动不均匀性改正的数值表格。
刘焯在编制皇极历的时候考虑到了这一情况，改用“定气”，以太阳所
在位置为准，而不是以均分的时间为准。由于太阳运动速度是变化的，因而
两气相隔的日数是不同的。但是太阳在天球上恒星间的视位置是不能直接观
测到的，因为白天太阳太亮而看不到其他的星。这就需要靠计算来确定每日
太阳的位置和运动速度。为了解决这个问题，刘焯第一个采用多项式内插法，
提出了等间距二次内插法公式，成为天文计算的转折点。
但是，刘焯对太阳运动速度在一年中变化规律的认识并不正确，存在着
三个大缺陷：
第一：它以春分、秋分和夏至、冬至的太阳的盈缩度相同；
第二：对春分、秋分前两个节气太阳盈缩度的测算存在着较大的误差；
第三：对太阳中心差极值的测算偏大。
一行在大衍历中，对太阳运动的不均匀性现象进行了新的描述，他指出
太阳在一回归年内视运动迟疾的总体状况应该是：冬至时最快，后渐慢，抵
春分时辰平，后仍渐慢，达夏至时最慢，后渐快，抵秋分时辰平，后仍渐快，
冬至时最快，如此循环往复。而且一行还认为太阳运动速度的快慢是渐变的，
而不是突变式的。这些都纠正了刘焯以来对太阳视运动迟疾总体规律描述的
失误。
但是，一行对若干节气段太阳视运动实际速度的定量描述存在着较大的
缺欠，致使大衍历日躔表的平均精度稍逊于刘焯的皇极历。虽然如此，一行
毕竟是把对太阳视运动迟疾的总认识引上正确轨道的第一人，后世历家无不
循其说，并不断有所改进。
根据一行等人的测算，从冬至到春分，太阳运行365。25的1／4，大约 91
－31度，交了六个节气，共用了88。89日。从春分到夏至，太阳也走过91。31
度，共需93。37日。秋分前后的情况和春分前后相同。这就用具体数据表明，
每二气之间黄道上的度数相同，而时间间隔是不等的。一行进一步创造了不
等间距的二次内插法公式，把刘焯的定气计算又推进了一步，不仅对天文计
算有重要意义，而且在世界数学发展史上也具有一定的意义。
一行在阳城（今河南登封）对冬至时刻的测定，做了十分认真的测影工
作。
祖冲之 （429—500）关于冬至时刻的测定，首创了巧妙的测量与计算方
法，并取得相当好的测算结果。一行在测影工作的基础上，依据祖冲之的冬
至时刻计算法，推求得开元十二年十一月癸未日九十九刻 （公元724年 12
月18日23时45分36秒）为冬至时刻，这一结果与理论值完全吻合。
大衍历对于每年冬至时刻的计算，正是建立在这样准确的测算前提之下
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的，所以具有很高的准确度，这也就大大提高了二十四节气时刻等一系列与
太阳运动有关的历法问题的计算精度。
一行对于冬至时太阳所在恒星间位置的测算，也做了相当出色的工作。
由于太阳的光芒强烈眩目，只要太阳处于地平线之上，便将背景中的恒
星全部隐去，而失去直接判断太阳位置的参照物。人们最早时是当太阳落下
之后或升起之前的短暂时刻，通过观测昏旦中星 （过子午圈的恒星）来间接
推测得知。
后秦时的姜芨首创了在月食时测量月亮在恒星间的位置，由此可知与之
正相对的太阳的位置，这样就可以消除在昏旦时进行间接测量由于时刻不准
确等原因所导致的误差，得到较为准确的结果。姜芨的这种方法称为月食冲
法。
一行利用姜芨发明的月食冲法，得到开元十二年冬至时太阳在赤道斗宿
10。5度的结果，这个数值与理论数值的误差为1。9度，这个误差主要是由于
二十八宿距度测量的累积误差造成的，而用月食冲法测量的偶然误差仅0。1
度。
由于地球绕日自转轴与公转轴倾斜，使地球上日照的倾角发生周期性变
化，从而发生季节变化，其变化周期可用中午日影长度的变化度量。然而，
中国天文学产生的初期，却是利用季节星象判断季节的。日照倾角的变化为
回归年，季节星象为恒星年，回归年和恒星年每年相差不到1分，叫做岁差。
由于中国古时的度量系统是赤道式的，而且采用二十八宿入宿度这种以赤径
差计量的特殊表达方式，致使古人不知存在差异，发现岁差较晚。
约330年，虞喜 （281—356）发现，依照《尧典》的记载，冬至时的昏
中星为昴星，而到了虞喜的时代，冬至昏中星为壁9度。这就是说，从帝尧
到东晋这段时间内，冬至昏中星已从昴宿，经胃宿14度、娄宿12度、奎宿
16度，退行至壁宿9度，合计退行51度。虞喜估计唐尧时代相距2700年，
由此可求得约53年岁差1度。
一行应用冬至时太阳所在恒星间位置的测算工作得到的客观结果，又基
于对大量的历史纪录的详尽考查，对岁差现象确信无疑。为此，他写成了洋
洋万余言的《大衍历议·日度议》，他说：
“古历，日有常度，天周为岁终，故系星度于节气。其说似是而非，故
久而益差。虞喜觉之，使天为天，岁为岁，乃立差以追其变，使五十年退一
度。”
这段话告诉我们，虞喜曾指出，古历将节气与星度相等同是不正确的，
寒暑变化1周不等于太阳在恒星间运行1周。因此便分清了周天与周岁的不
同概念，并且求出了二者具体的差数为50年退1度。这个差数便称之为岁差，
其含义是，太阳在黄道上运动，经过1岁之后并未回到原处，尚差1／50度
（赤经差）。这个岁差概念，与近代所理解的赤道岁差相当。
但是唐初的李淳风和王孝通不相信有岁差。
李淳风由于不相信有岁差，所以在他撰写的《晋书·天文志》和《律历
志》中，对虞喜的这个重大发现并未予以记载。
王孝通在公元626年校正傅仁均历时，还根据远远落后于当时天文学发
展水平的隋张宾开皇历来指责傅仁均，说他不应该在计算时使用岁差。
一行在《日度议》中驳正了李淳风、王孝通这两位历算名家对岁差现象
的怀疑，从而结束了虞喜发现岁差现象以后约400年间的一些历家对这一重
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要天文概念的犹疑以至反对的状况，使岁差成为定论。
一行推算得每经1年太阳沿赤道西退36。75分（3040分为1度），即赤
经岁差为每82。72年退1度（约等于42。9″），该值偏小，但却对唐宗一些
历法产生了较大的影响。
一行对太阳运动的研究成果还反映在关于每日晷长和昼夜漏刻长度的测
算上。在大衍历中，一行列出了阳城二十四节气午中日影长和昼夜漏刻长度
的数值表（晷漏表），它们是经由实测，再经一定的推算得到的。这个表与
以前不同的地方是，把平气改为定气，而且精度大为提高，他的晷长表的误
差是0。022尺，漏刻表的误差是0。5刻。
一行在晷漏问题上，更主要的贡献是创立了晷漏长度随地理纬度不同而
不一样的近似算法，也就是所谓“九服晷漏”计算法。
大衍历的九服晷长计算法包括以下五个步骤：
第一，先给出太阳天顶距（Z）为1至78度时，8尺表的各相应影长（L）
的数值表格（Z—L表）。这个表格的天文和数学含义应是：L=8×tgz。根据
这个含义可以认为它是一份正切函数表，而且是世界上最早的正切函数表。
但是，它不是�