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1 3 3 2 2 1
又如
（1 3）（2）或（1 3）
表示一个将x代作x，x代作x，x代作x的置换。
1 3 3 1 2 2
有时一个群的部分元素自己形成一群，这种群称为“约群”。例如，前
面（a）例中，一切整数对于加法而言，为一群。若单拿一切偶数来看，对于
加法，他们也成一群；因为群的四个性质它都适合：
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（1）两个偶数的和还是偶数。
（2）0是主元素。
（3）一个正偶数有相应的负偶数作逆元素，而一个负偶数的逆元素是正
偶数。
（4）结合律成立。
所以，偶数群是整数群的约群。
伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。
在约群中，最重要的是“不变约群”，即一个约群中的任何元素应用原
来的群中任何元素的变形，＇例如设有一个元素 （1 2），用另一个元素（1 2
3）去右乘它，再用（1 2 3）的逆元素（1 3 2）去左乘它，所得的结果是
（1 3 2）（1 2）（1 2 3）＝（2 3），
这个结果 （2 ）就称为3 （1 ）应用2 （1 2 3）的变形。＇若仍是约群
中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。
一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群，一个真约群必须比原
来的群小。但如果H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变
真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变
真的约群，……若将G的元素用H的元素个数去除，H的元素用K的元素个
数去除，……所得诸数，称为群G的“组合因数”。若这些组合因数都是质
数，则G是一个“可解数”。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素 （主元素例外）的乘幂。
如在群
1，（1 2），（31 3） 2
2
中，（1 2 3）＝（1 2）（13 2） 3
＝（1 3） 2
3
（1 2）=（31 2） （31 2）（13 2）=13
此群中的元素都是（1 2）的乘幂。这种群，称为3 “巡回群”。
在一个置换群中，若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成
其他某个文字，则这个群称为“正置换群”。例如群
1，（1 2），（31），
在 1中 x，变成x，在（1 2）中x3变成x，在（1 ）中32x
1 1 1 2 1
变成x……所以这是一个“巡回正置换群”。
3
4．一个方程式的群
对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。譬如三次方程式
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0，
假定它的三个根x，x，x是相异的。任意取一个这三个根的函数，如
1 2 3
xx＋x
12 3
在这个函数中，若把这些x互相替换，那么，会有六种置换。（1 2）一
类的置换为 xx＋x；（ 1 ）为3 xx＋x；（ 12）为3xx＋x。此
21 3 32 1 23 1
外，还有不动置换。也就是说共有：
1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2）（13 3）六个置换，2
即对于这三个x，一共有3！（表示3×2×1）种可能的置换。一般说，n！
表示n（n－1（n－2）……1，所以n个x有n！种置换。于是，伽罗瓦得出
… Page 17…
结论，在函数v=mx＋mx=mx＋……mnxn中，当x作各种可能的置换时，
1 11 22 33
这函数就有n！个不同的值，用v，v，v，……vn！表示这些不同的值，
1 2 3
可作出式子P（y）=（Y…v）（Y…v）……（Y－vn！），其中Y是一个变数。
1 2
将P（y）的各因子乘出来，就得到一个Y的多项式。假设P（y）在某一
数域中分解因数，包含v而在此数域中为不可约的部分是（Y－v）（Y－ v）
1 1 2
或 Y－（v＋v）Y＋vv在这部分中所含的v仅有vv。则将v，v互相
2 1 2 12 12 1 2
交换的x的置换成一群，这个群叫“方程式在这数域中的群”。
一般地说，一个方程式在一定数域中的群是由P（Y）中包含v的不可约
1
部分而决定的。将这个不可约部分记作G（y），则G（y）＝0，这称为“伽
罗瓦分解式”。
在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大，
可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。
明白什么是方程式在一个数域中的群，就可以去求它。例如二次方程式
X＋3X＋1= 0
2
有两个根x，x，可能的置换只有1和 （1 ）两种。所以2 它的群或者
1 2
含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。
以函数x－x为例，二次方程式
1 2
2
x＋bx＋c＝ 0
的两根之差是
x … x ＝ b2 … 4c
1 2
在此例中，规定b＝3，c＝1，则
x －x ＝ 5
1 2
如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以
群中必有一个置换能变更此函数的值，这就是（ 1 ）置换。则此方程式在2
有理数域中的群是由
1，（ 1 ）2
两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域，那么，在此数域中，所
以群中一切置换都不改变函数x…x的值，所以（1 ）不能在群中。此方2
1 2
程式在实数域中的群是由1一个置换作成的。
5．伽罗瓦的鉴定
伽罗瓦证明了：一个方程式在一个含有它的系数的数域中的群若是“可
解群”，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这样的条件下方程式才能
用根式解。
以一般二次方程
2
ax＋ bx＋c＝0
为例，它的两个根是x，x。它在一个含有它的系数的数域中的群之元
1 2
素是1和 （1 ）。这个群的唯一的极大不变真约群是2 1，则此群的组合因
数是： ／21＝ 2，这是一个质数，因此，根据枷罗瓦的鉴定，凡二次方程
式都是可用根式解的。
再取一般三次方程
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0
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来看，因为它有三个根x，x，x，所以在一个含有它的系数的数域中，
1 2 3
它的群含有1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2），（31 3） 2
六个置换。此群的唯一极大不变真约群含有 1，（1 2 3），（1 3）三2
个置换。据此可知，组合因数是6／3＝2与 3／1＝3，两个都是质数。所以
凡三次方程式都是可用根式解的。
再看一般的四次方程式
4 3 2
ax＋bx＋cx＋dx＋e＝0
它在一个含有其系数的数域中的群元素个数是4！＝24。这个群的组合
因数是：
2，3，2，2。
这些都是质数，所以凡四次方程式也都可以用根式解。
对于一般的五次方程式，含有5！个置换，其组合的因数是2与5！／2
而5！／2不是质数，所以，一般的五次方程式不能用根式解。
如此，应用伽罗瓦群的理论，可以得到一个简单而有力的方法来决定一
个方程式能否用根式解。
6．用直尺与圆规的作图
伽罗瓦在发明了判别方程式能否用根式解的鉴定之后，又创造了如何求
一个能用根式解的方程式的根的方法，即利用一组“辅助方程式”，而这些
辅助方程式的次数则是原方程式的群的组合因数。
其具体方法是：先把第一个辅助方程式的根加入数域F中，然后假设数
域经第一个辅助方程式的根之加入而扩大了，并使分解因数的工作因之可以
再继续下去，令方程式在这扩大了的数域F中的群是H。再将第二个辅助方
1
程式的根加人F中，使方程式的群变为K，直到方程式在那个最后扩大成的
1
数域F中的群是1。而函数x不能被1中的置换变更它的值，所以 x必在
m 1 1
数域F中。同样，其余的根也都在F中。这样就�