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是比较少的。朱世杰“周流四方，复游广陵”，应是在1276年元军对南宋的
大规模军事行动结束之后。朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299
年和 1303年在扬州刊刻了他的两部数学著作——《算学启蒙》和《四元玉
鉴》。
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八、天元术的硕果
清代数学家罗士琳 （1774—1853）在他的《畴人传·续编·朱世杰条》
中评论朱世杰的数学成就时说：
“汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道
古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，
神而明之，尤超越乎秦李之上”。
清代另一位数学家王鉴在他的《算学启蒙述义·自序》中也说：“朱松
庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”。
由上述二人的这两条评论来看，朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学
发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古
代数学发展的顶峰。
《四元玉鉴》可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著，全书
共分3卷，24门，288问。书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，
其中：
四元的问题（需设立四个未知数者）有7问（“四象朝元”6问，“假
令四草”1问）；
三元的 13问（“三才变通”11问，“或问歌彖”和“假令四草”各1
问）；
二元的36问（“两仪合辙”12问，“左右逢元”21问，“或问歌彖”2
问，“假令四草”1问）”。
一元的232问（其余各问都是一元）。
可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，
也是全书的主要成就。
《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。
在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。
《四元玉鉴》一书的流传曾几经波折。这部1303年初版的著作，在15
和16两个世纪都还可以找到它流传的线索。
第一：吴敬所著《九章算法比类大全》（1405年）中的一些算题，和《四
元玉鉴》中的完全相同或部分相同。
第二：顾应祥在他所著的《孤矢算术》序言（1552年）中写道。“孤矢
一术，古今算法载者绝少……《四元玉鉴》所载数条”。
第三：周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》
书首的各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会
圣贤”列有“松庭《四元玉鉴》”。可见顾应祥、周述学二人都曾读到过《四
元玉鉴》。
第四：清初黄虞稷（1618—1683）《干顷堂书目》记有“《四元玉鉴》
二卷”卷数不符。
第五：梅瑴成（1681—1763）《赤水遗珍》（1761年）中曾引用过《四
元玉鉴》中的两个题目，可见清初时此书尚未失传。
公元1772年开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数学典籍，但朱
世杰的著作并未被收入。阮元、李锐（1769—1817）等人编纂《畴人传》时
（1799年）也尚未发现《四元玉鉴》。但不久之后阮元即在浙江访得此书，
呈入《四库全书》，并把抄本交李锐校对（未校完），后由何元锡按此抄本
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刻印。这是1303年《四元玉鉴》初版以来的第1个重刻本。
《四元玉鉴》被重新“发现”以后，引起了当时许多学者的注意，如李
锐、沈钦裴 （1829年写有《四元玉鉴》序）、徐有壬（1800—1860）、罗士
琳、戴煦 （1805—1860）等人，都进行过研究。其中以沈钦裴和罗士琳二人
的工作最为突出。
1839年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一书，
影响广泛。罗士琳对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题作了细草。
与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心研究，每题也做了细草。
清代数学家李善兰 （ 1811—1882）曾著有《四元解》（1845年）。其
后陈棠著《四元消法简易草》（1899年），卷末附有“假令四草”的“补正
草”。
日本数学史家三上义夫在其所著的《中国及日本数学之发展》一书中将
《四元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹和赫师慎分别把《四元玉鉴》中的“假
令四草”译为英法两种文字。
1977年华裔新西兰人谢元祚将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于
《四元玉鉴》的论文。
朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上
发展起来的。
朱世杰深刻阐述了运用“天元术”——以代数方法处理几何问题的巨大
的优越性。
当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（x）外，还需要增设地元（Y），
人元（Z）乃至物元（U），再列写出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，
然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。
朱世杰不仅提出了多元 （最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述
方法，而且把《九章算术》等书中的四元一次联立方程组解法推广到四元高
次联立方程组，在《四元玉鉴》中举例说明了高次联立方程组的求解方法—
—消去法。
总之，朱世杰的《四元玉鉴》为推进我国古代数学的发展作出了不可磨
灭的重要贡献。但是，我们在看到朱世杰的贡献时，千万不要忘了，站在他
前面逢山开路，遇水搭桥的伟大数学家李冶的“凿空”之功！
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