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18世纪后期，微分几何从克莱罗开始，经欧拉、蒙日深入研究而发展起
来。当时研究的重点限于曲线点上的性质，尚未进行对曲面性质的深入研究，
也未建立起曲面微分几何的理论。高斯从大地测量和地图绘制的实践中，引
出了许多关于曲面的问题，特别是地图绘制，它涉及到如何最精确地在平面
上画出地球表面各部分的形态，由于尺度比例必须受到地球表面弯曲程度的
影响而有所改变，因此在当时要完全正确地画出地图是不可能的。于是就产
生了关于寻求最精确的绘制方法的问题，在数学上则表现为对曲面的一般理
论和分析学的一般方法的探求。
在《论曲面的一般研究》中，高斯从曲面方程x＝x（u、v），y＝y（u、
v），z＝z（u、v）着手，对曲面作了系统的研究，他给出了任何曲面弧长元
素的微分表达式，即所谓高斯第一基本二次形式 （ds2＝dx2＋dy2＋dz2）；曲
面上两条曲线之间的夹角公式；以及曲面上任意点处的曲率的定义及计算方
法。一个重要的结果是：高斯发现，曲率仅仅是参数u、v的一个函数，它与
曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态完全无关，这就等于指
出，如果一张曲面能展开成另一张曲面，那么曲面上任意一点的曲率是不变
的；如果建两张一一对应的曲面，那么在对应点上必然有相同的总曲率，必
然有相同的几何。因此，对曲面上几何的研究完全可以集中在曲面本身上进
行，无须把曲面作为三维欧氏空间中的图形来对待。这就是高斯开创的内蕴
几何。
内蕴几何不仅大大地改变了人们对曲面的认识，为微分几何开辟了一个
广阔的研究领域，而且把空间的数学概念大大地推广了，使它在现代物理学
中占有非常重要的地位。微分几何虽然不是高斯开创的，但是，由于高斯的
工作奠定了现代微分几何的发展基础，并指出了它的发展方向。19世纪微分
几何也正是在高斯的基础上，由高斯的学生黎曼 （1826—1866），以及黎曼
的追随者贝尔特拉米（1835—1899）、李普希兹（1832—1903）等人发展起
来的。
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七、从事物理学研究
19世纪初，在著名的探险家、科学家洪堡（1769—1859）的倡议和引导
下，欧洲许多国家掀起了地磁观测的热潮。地磁观测即是用专门仪器测定各
地磁场强弱和方向的变化规律及其异常的观测。洪堡是高斯的朋友，1804
年，他从南美探险归来后，成立了“地磁观测协会”，并就任理事长。洪堡
想吸引高斯研究地磁学，他将丰富的地磁观测资料带给高斯看，高斯对此十
分感兴趣。但是，由于当时高斯正从事天文学研究，因此，没有更多的精力
从事地磁学的研究。洪堡并不罢休，1828年他再次拜访高斯，并且带去了更
为丰富的资料。洪堡告诉高斯，现在的问题已经不是资料不足而是如何对资
料进行科学的处理。他希望高斯从事地磁学研究。这时，高斯已基本结束了
大地测量工作，有充分的时间来做这方面的工作。恰巧，那一年，一个比利
时物理学家表示愿意协助高斯做地磁实验，这就促使高斯下决定从事这项工
作。不久，高斯即投入了对地磁学的研究。在不到两年的时间里，他解决了
怎样在地表任何一点测量地球磁场强度的问题，发明了磁强针，并撰写了《引
用绝对单位的地面磁压》一书。
1831年，德国青年物理学家韦伯（1804—1891）在高斯的推荐下，应聘
到哥廷根大学任物理教授。从此，两人紧密合作从事地磁学的理论和实验研
究工作。尽管他们两人的年龄相差27岁，但却合作得非常出色。韦伯是个实
验家，高斯则是以理论见长的科学家，由韦伯通过实验得出的结果，高斯通
过理论阐述常常变得更为深刻而又清晰。高斯通过理论分析得出结论：“磁
场是从地球实体内产生的。”它不仅定出了磁场成因的范围，而且正确地把
人们的注意力引向发生地磁场的地球物理机制的研究。
1833年，高斯与韦伯在哥廷根天文台内建造起世界上第一座“地磁观测
台”，为了避免观测时受钢铁的干扰，地磁台全部用钢来建造。他还组织了
“磁学会”，出版了刊物。这一年，高斯还建立了物理绝对测量系统的理论。
在这一系统中，他把磁场、磁场强度等都归纳为长度、时间和质量三种基本
量。他的《地磁论》和《作用的吸引力和排斥力同距离平方成反比的总定理》
两篇名著就是在这时写成的。
《地磁论》列举了高斯和韦伯用新的观测方法获得的大量精确观测数
据，记录了地磁场每分钟的变化。高斯认为，地球是一个大磁体，其南北极
同地理南北极并不精密吻合，地磁位可按高阶球函数展开。高斯通过这样的
计算，求出了地磁极的概略位置。后来，一艘北极考察船到达高斯算出的磁
极附近，证实了这一理论的正确。
《作用的吸引力和排斥力同距离平方成反比的总理论》导致了数学物理
学这门边缘学科的诞生。高斯在对电粒子和磁极之间引力的研究实验中，证
明了在引力场中两物质间存在的引力大小同距离平方成反比。他掌握了位于
抽象面中力的规律，从而发展了力学、静电学和流体静力学的原理。他用势
论作为基本概念，分析出必要的力都可以从无穷远的质点取得。
高斯与韦伯的合作中，最重要的发明是1833年至1834年间创制的电磁
电报。1821年，法国物理学家安培（1775—1836）提出了用电磁装置传送信
号的意向后，许多人开始研究它。1832年，俄国科学家帕尔·希林格首先在
彼得堡的夏宫和冬宫之间建立电报联系，一年后，高斯和韦伯便发明了电磁
电报。高斯与韦伯的电报机比帕尔·希林格的电报机水平要高得多。他们自
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己制作了一个电磁感应器，借助它可在两地之间产生较强的电磁脉冲，从而
实现两地的通讯联系。收报的一方可用一个磁棒和读数反光镜作为收报机，
它和发报机之间用电线连接，就可以看到感应器上显示出来的每一个电流脉
冲。
韦伯负责电报机的完善研究。他同哥廷根大学的机械师米歇尔曼一起，
安装了一条从城内到天文台内2公里的双路电线。途中要通过一些道路和障
碍物，铜线常常被来往的车辆和行人破坏，他们改用涂漆的铁丝。为了保护
线路，最后他们不得不雇用更夫。通讯工作完成后，发报时按“字母表”的
顺序在感应器上不断地发送电流脉冲，收报者则利用磁棒的偏移量来确定发
来的字母。第一次发报的电文是：“米歇尔曼，快来！”
电磁电报通讯的成功，使高斯看到了电报技术发展的巨大前景，但是他
无力负担巨大的试验费用。对此高斯说：“如果有几千塔勒在我手中，一定
可以使电报技术更加完善，届时，俄国沙皇的命令无需经过一站站地中转即
可迅速传到奥德萨，甚至更远的基亚希塔。”
现在通常把电报的发明权授予美国的莫尔斯 （1791—1872），这是因为
莫尔斯在 1837年设计成功了一台有实用价值的电报机，并首次获得专利。
1844年，莫尔斯又建立了从华盛顿到巴尔德摩之间的英国第一条电报线路，
拟出了专门的电报代码——莫尔斯电码。但就电报发明的时间而言，高斯和
韦伯的电报在莫尔斯的电报之前。
为了纪念高斯对磁学理论的重要贡献，物理学界将磁场强度的度量单位
定名为“高斯”。
除磁学外，高斯在光学上也作出了成绩。约1835年，哥根廷天文台安装
一台目镜测微仪。在使用中，高斯发现从仪器中测得的数据与按公式计算所
获得的结果总有误差。高斯相信自己的计算没有错，仪器也是完好的，那么
问题只能出在用作计算出发点的公式上。经过仔细的研究，高斯终于查明公
式没有顾及光学玻璃系统的厚度。后来，高斯对这个问题进行了专门研究，
创立了中心光线通过任意光学系统的光程理论。
在毛细管现象和结晶学的理论研究上高斯同样也留下了重要成果。
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八、婚姻、家庭与生活
高斯在24岁时就已成为知名的数学家和天文学家。就在他成名后不久，
丘比特的爱情之箭射中了这位年轻的科学家。他爱上了家乡布伦瑞克制造上
等皮革工艺师奥斯特霍夫的女儿约翰娜。高斯对这位文静美貌、心地善良的
少女一见钟情。可是，这位在数学领域叱咤风云的战将，在爱情王国中却羞
怯的像个小学生。他不好意思当面向心爱的姑娘表示爱慕之情，只好用不断
写信的方式向她倾诉衷肠。通信两年后，约翰娜才同意了高斯的求婚。高斯
对此十分高兴，他在把订婚消息写信告诉鲍耶的信中表露了这种喜悦的心
情，他在信中说：“我好像总是生活在迷人的春光里，一切光辉灿烂的色彩
都展现在我眼前。”兴奋的心情跃然纸上。1805年10月9日，高斯和约翰
娜在布伦瑞克举行了婚礼。
1806年8月，高斯的大儿子出生了。孩子的出生给这个小家庭增添了欢
乐。高斯为了纪念他与天文学家约瑟夫·皮亚齐合作对“谷神星�