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确定性与不确定性
人的命运可以说从第一位旧石器时代的战士偶然地被石块绊倒时起就被说开了。一方面很多宗教都宣扬人的命运前定；另一方面，唯意志论者强调自由意志的作用，好像人的命运完全由自己所把握。当你我处在人生的十字路口，面临多种选择时只能选择其中一条路，所以经常有人感叹：“假如我当初……”然而由于时间的不可逆性，这种“假如”是根本不存在的，因为每个人的人生只有—条轨迹。这一条道路是上帝决定的还是你自己决定的呢？争论是无止境的。但是我们从可预见性来看，人的命运的确定性和不确定性并存。数，非常准确地刻画了我们人类所处的状态。
自然数序列乃是算术的基础。算术以其法则的极大普遍性和简单性，使得最笨的人也能领悟，其道理就在于机械性。丹齐克引用芝诺的话，“说过一遍的话可以永远重复”，以说明自然数序列的哲学基础：“当一个动作一旦可能，我们的心灵就能够设想这个动作的无限次重复。”这就是对将来确定性的把握。
另一方面，质数序列是数论的基石。数论是数学中所有部门里面最最难的一门，其所以难，是因为它含有更多的实验科学的气味。数论中很多问题，如哥德巴赫猜想，至今仍在向许多最伟大的数学家的能力挑战。质数的序列，我们已经证明是无限的，然而若干世纪以来，人们千方百计企图找出一个适用于所有质数的普遍的数学公式，以便对质数有一个确定的把握，然而各种尝试都失败了。我们已经找到的最大质数是2756839－1，然而我们要想找到下一个质数却不知何时。它不像我们对偶数的寻找，当我们说第n个偶数是2n，那么我们一定知道下一个偶数是2n＋2，对于偶数的序列我们可以心满意足地说：“我们全都知道了。”寻找质数倒像我们对明天所作的判断一样。“明天会出太阳，是一种假设；也就是说，我们不知道它是否会出来”（维特根斯坦）。人的命运若说是早已注定的，但我们现在并不能预见将来怎么样；然而若你说它是不确定的，由于人生的不可逆性，好像早就确定了下来，但这种确定并不是我们自己所能把握的，正像全部质数序列超出我们人类把握的能力一样。
从微观上看，这种确定性和不确定性表现在有理数和无理数的小数表示上。有理数等价于无限循环小数。通过把有理数化为小数，我们就得到有理数的循环性，序列的确定性。然而无理数是无限不循环小数。没有一个无理数的小数表示实质上能被我们准确掌握住的，它意味着不确定性。圆周率的小数表示仍然是数学的一个研究领域，我们只能算到哪儿说哪儿。
持决定论的人认为一切都是必然的，没有偶然性，“任何一个被我们称之为偶然性的东西，其惟一的原因都是由于我们缺乏完备的知识”（斯宾诺莎）。在数学上，人们确实曾经尝试用确定的、有限的方法来把握全部质数序列和无理数，然而一次次我们失败了。用康托尔的话说，我们对无理数的把握要用到无限算法。黑格尔用“恶无限”来表达对偶然性的厌恶，“总有新鲜的血液不断循环，这样下去真会使人发癫”。
然而我们确确实实知道，今天与昨天不一样，有很多事情是先前未预见到的，也就是说偶然性占据了我们的生活。
丹齐克从狄德金分划对实数的刻划为此作了一个非常巧妙的解说。狄德金公理：“若将直线上的所有点分为两组，使第一组上各点都在第二组各点之左，则有且仅有一点能产生此种分划法，而使所有各点分为两组，并使直线截为两段。”这条公理恰是我们赋予时间以基本性质的一个巧妙解说。我们的直觉能教我们用心理的动作将所有的时间划分为两组，即过去与将来，二者互不相容，总括起来则包括了整个的时间永恒。现刻就是分离一切过去和一切未来的分划：过去的每一瞬间都曾经当过—次现刻。未来的每瞬间转眼又将是一次现刻，所以每一瞬间本身又都可以作这样的一个分划法。然而有理数分划所产生的有理数和无理数分划所产生的无理数却有一个根本的区别。产生有理数分划的数本身是属于两组中的一组，犹如一位政治家分裂一政党，自己参加了右翼或者左翼；产生无理数分划的数则完全是党外的：犹如一个争论使政党分裂，争论本身却既不属于左翼，也不属于右翼。有理数的特点在于它属于一组，而无理数的特点则恰在于它不属于任何一组。将它们赋予时间，则有理数说明现在或者是过去产生的结果和延续，或者是将来产生的原因和开始；而无理数却意味着现在既不属于过去也不属于将来，即现在既不是过去的结果也不是将来的原因。丹齐克说：“还有一层，虽然看来是荒谬的，然而在狄德金所用的意义上，现刻则是真正的无理数。因为作为分划，它既不属于过去，也不属于未来。所以在一种以纯粹时间为基础的算术，又如果这种算术是可能的话，则在这种算术里，无理数才是当然之事，而我们逻辑性所努力寻求的原将是致力于建立有理数的存在。”
人生的确定性与不确定性像一块金币的两面一样是嵌镶在一起的！
约束与自由
我们的数学教科书给人的印象是：数学家们几乎理所当然地从自然数到无理数，又从无理数到超限数。然而丹齐克向我们揭示：数的进化充满了蒙昧和偏见，健全的判断经常因效忠于传统而被淹没，理性长期屈服于习俗。
纵观数的进化史，从自然数是“自自然然的数”，到毕达哥拉斯的“万物皆数”中的数，指的是“有理的”数。毕达哥拉斯学派的一个成员希波苏斯发现等腰直角三角形的斜边无法用直角边度量从而发现了另一种数——“无理取闹的”数，据说希波苏斯就因为这一发现被扔到大海里，因为他在宇宙间搞出了这样—个东西否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。经过若干世纪，人们慢慢接受了无理数，并被认为是实在的一部分，于是把有理数和无理数称为“实实在在的”数。再后来发现？1的平方根不是实数，于是取了一个诨名“虚无缥缈的”数，好像数学家在选用这个术语时就自认这种数量的虚幻性了。
到十九世纪，大多数数学家如柯西、高斯等都认为无限只不过是言语上的一个比喻，而决不是数学的对象。然而康托尔经过多年的深思熟虑，将无限划分为几个层次，创立了超限数理论。
康托尔说过一句令那些想开拓新的数学领域的人激动不已的名言：“数学的精髓在于它的自由。”数学是真正自由的吗？自从有数学始，数学家群体正像一般的社会群体一样总是分裂为保守派和自由派，当我们用3去减2，求2、？1的平方根，将无限作为完成的整体时，我们都面临着“可能与不可能”的激烈交锋。现在我们知道，可能性与不可能性仅有相对的意义，不可能性几乎永远是某种限制产生的结果，这种限制通常被传统神圣化了，以致好像其本性就是如此，一旦除去限制，不可能性就消失了。但是我们每次从不可能到可能的同时又设置了新的不可能性障碍。被认为最富有革命精神的超限数理论打破了“整体大于部分”的信条，但它仍保留了一条最重要的原则：一一对应。
这种限制和自由存在于人类生活的方方面面，从法律到道德，既有一定的限制又有一定的自由。美国诗人弗罗斯特写道：
一个人坚持认为，
有的东西就是不爱墙壁，
另一个人则坚持
围墙完好，邻居和睦。
尽管这两种说法似乎正好针锋相对，但这两者却都是千真万确的，人的生活中不能没有墙壁——对于他们的自由的限制。但同时他们又反对所有的约束，一旦取消了约束，他们就感到快活！
数是我们的尺度
通过除去限制，我们从自然数得到整数、有理数、无理数、虚数，再从有限数到超限数。那么这些数是不是客观实在的呢？丹齐克认为，除去一切形而上学废话，除去哲学的行话，“我们称作客观实在的东西，归根结底，就是许多能思维的生物所共有的东西，就是一切能思维的生物所能够共有的东西”。
对于古希腊普通数学家不能理解的无理数，现在是有文化的人智力的一部分。仅仅一百年前，康托尔创立超限数时还是孤军奋战，其阻力曾使康托尔精神崩溃，然而康托尔的无限理论现在已被作为正统数学的基础，连伽利略、柯西、高斯这些大数学家也不能理解的东西，我们数学系的大学生可以与人津津有味地谈论无限的几个层次了，好像是真的一样，如果有人持异议的话，恐怕他不能搞这一行了。
今日的实在不过是昨日的幻象，然而它并不是素来如此熟悉的。在某个时代，它也教人迷茫不安，直到后来我们给它一种更为原始的幻象为止，这最后的一种又是曾经经过若干世纪的习惯才变成具体的。丹齐克由此得出他的实用主义哲学，幻象之能存留着，在于它可以帮助我们组织、整理和支配我们的经验，因而对于人类的生存大有裨益。能够保持和促进人类的生存的就可以繁荣生长，从而赢得实在性的权利。
这种观念使我终于理解了科学革命的本质：“一个新的科学真理并不是靠使它的对手信服，并使他们领悟而获胜的，不如说是因为它的对手终于死了，而熟悉这个真理的新的一代成长起来。”数学家魏尔和波利亚就曾经为数学分析中的一个定理的实在性打赌，其标准就是几十年后接受该定理的数学家的人数的多寡。
为什么我们要倡导学术自由呢？因为我们要允许新的观念有一个可能由少数人接受变多数人接受的机会，这样人类才会不断进步。所以客观实在不�