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倍。怎样得到两倍于原立方体体积的新立方体，自然会成为人们很想知
道的问题。显然，
3
如果原立方体的棱长为a，那么新立方体的棱长应为 2a，这样
新立方体的体积才是原立方体体积的两倍。但是，在只限于用没有刻度
的直尺和圆规的情况下，是没有办法作出这一立方体的，这是名符其实
的一个难题。
第二个难题的产生与第一个难题有类似的情况，当时人们已能对任
意角二等分，自然要进一步想知道怎样才能三等分任意角。对此，智者
① 参阅梁宗巨《世界数学史简编》，第105 页。
① 参阅克莱因《古今数学思想》第一册，上海科学技术出版社1979 年版。
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学派的主要代表人物喜庇亚斯创设了一种“割圆曲线”，试图解决三等
分任意角问题。他的思路大致如下：在矩形ABCD中， BC边匀速地平行
下降与AD边重合；同时， AB边匀速地绕A沿顺时针方向旋转，与AD
边重合。如图6。8那么，下降的BC边与旋转的AB边交点的轨迹就是割
圆曲线。这条曲线上每一个点的纵坐标与相应的夹角成正比，
y
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学的严谨性，在他的学园教学中坚持准确的定义和演绎的证明。毕达哥
拉斯学派对点的定义是：点是有位置的单位，柏拉图认为毕达哥拉斯学
派对点的定义不够明确，而另立定义：点是直线的开端。柏拉图关心推
理过程的方法论，有两类推理方法被认为是他的学派的贡献。第一类是
分析方法，用这种方法时，先假定要证明的结果是对的，然后由此推出
一些结论，直至推出已知的真理或与已知真理相矛盾的结论。如果由待
证命题推出已知真理，那么只要把推理的步骤倒过来，就可以做出证明；
如果由待证命题推出与已知真理相矛盾的结果，就证明待证命题是错
的。第二类是归谬法，用这种方法时，也是先假定要证明的结果是对的，
只不过由此能够得出与要证明的结果相矛盾的结论，这就证明待证结果
是谬误的。柏拉图认为数学采用分析推理方法是十分自然的事，他说：
“研究几何和算术之类学问的人，首先要在这一学科里认定奇数和偶
数、各类图形、三类角以及诸如此类的东西，把它们当成大家都承认的
公设，认为不必再为自己和别人作出什么说明，谁都明白。然后他们由
①
此出发，通过一系列的逻辑推论，最后达到他们所要证明的结论。”至
少可以说，柏拉图学派使数学，特别是几何学具有了明确的思维方式。
从这个意义上说，柏拉图学派为古希腊最负盛名的欧几里德几何学奠定
了基础。
柏拉图学派的欧多克斯是成果颇丰的数学家，他的一个重要贡献是
建立一个纯粹几何性的比例理论。欧多克斯引入“量”的概念，用来表
示可以连续变化的线段、角、面积、体积等。量与数是不同的，数是跳
跃的，如从1到2到3等等；而量则是连续变化的，欧多克斯引入的量
是不指定数值的。然后，他定义了两个量的比，相等的比彼此是成比例
关系的，这样，就把可公度比与不可公度比都包括在内了。欧多克斯对
线段的长度、角的大小以及其它的量和量之比，都不给出数值，就是为
了避免出现无理数 （不可公度比）。这对几何学的发展起到了积极的推
动作用，例如泰勒斯提出的相似三角形的对应边成比例的命题，就是在
欧多克斯的比例理论建立以后才被证明的。但是，欧多克斯的比例理论
实际上是硬性将数与几何分开，虽然是通过建立比例理论使几何学能够
处理不可公度问题了，却避开了代数和无理数，从而造成希腊人在运算
能力上的不足，与几何学的高度发展形成鲜明的对照。
欧多克斯的另一重要贡献是对穷竭法的发展。穷竭法通常是以欧多
克斯命名的，因为后人认为欧多克斯尽管不是提出穷竭法思想的第一
人，但穷竭法确是在他那里得到补充、完善、发展和推广的。欧几里德
《几何原本》第十篇的第一个命题就是作为穷竭法基础的重要引理，这
个引理的意思是：如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，再
从余下的部分中减去不小于这个余量一半的部分，等等，到最后将留下
一个小于任何给定的同类量的部分。这个引理被认为是欧多克斯曾经证
明而由欧几里德在《几何原本》中表述出来的。在此基础上，欧多克斯
用穷竭法证明了两圆面积之比等于其半径平方之比，两球体积之比等于
其半径立方之比，棱锥体积是同底同高棱柱体积的1/3，圆锥体积是同底
同高圆柱体积的1/3等。
① 柏拉图：《国家》，引自《西方哲学原著选读》上卷，第92 页。
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（6）欧几里得与 《几何原本》
欧几里得（约公元前330～前275）是亚历山大前期的第一个大数学
家。亚历山大前期是指从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗
马成为地中海区域的统治者为止，这一时期，希腊数学发展达到了鼎盛
时期。欧几里得生于雅典，曾就学于柏拉图学派。大约在公元前300年
左右，在托勒密一世王的邀请下，欧几里得来到亚历山大城传授数学。
在此，欧几里得完成了他的代表作，也是希腊数学的百科全书—— 《几
何原本》。古希腊几何学从泰勒斯开始，经毕达哥拉斯学派到柏拉图学
派，发展为建立在定义和公理基础上演绎而成的一套严密体系。欧几里
得的 《几何原本》是集大成之作，充分地体现了古希腊几何学的发展结
果，成为标志古代希腊几何学形成完整体系的里程碑。欧几里得不仅在
选择公理和编排定理次序上下了一番功夫，而且他还增补了一些定理，
给出了一些证明；特别是体系的严谨与论证的严密更使后人赞叹不已。
《几何原本》的论述结构是以少量原始概念和不需证明的几何学命题作
为定义、公理与公设，由此出发通过逻辑推理证明一系列的几何定理，
形成一个由简至繁的体系。这种公理化方法，至今仍是构造科学理论体
系的重要方法。
《几何原本》的内容共计有13篇，有的版本列出15篇，其中第14
篇和第15篇非欧几里德所作，而是后人补上去的。
第1篇首先给出了23个定义，涉及到点、线、面、圆和平行线等一
①
批原始概念；然后提出了5个公设和5个公理 ：
公设 1。从任一点到任一点作直线 （是可能的）。
2。把有限直线不断循直线延长 （是可能的）。
3。以任一点为中心和任一距离（为半径）作一圆（是可能的）。
4。所有直角彼此相等。
5。若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直
线无限延长后必相交于该侧的一点。
公理1。跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
2。等量加等量，总量仍相等。
3。等量减等量，余量仍相等。
4。彼此重合的东西是相等的。
5。整体大于部分。
欧几里得同意亚里士多德的观点，即认为公理是适用于一切科学的真
理，而公设则只适用于几何学。其中第5公设是欧几里得的杰作，他可
能认为为了避免出现无限远空间的问题，这一公设是必要的。但是，这
个公设由于不如前4个公设那么一望而知，人们不容易一下子接受，甚
至有人认为欧几里得之所以把它作为公设，是因为他无法证明它。这成
为《几何原本》的一个“污点”，为洗刷这一污点，在欧几里得提出这
一公设之后，不断引起人们用其它公理和公设予以证明的努力以及对它
的种种怀疑。在此后的两千年间，对它证明的努力终于失败，而对它的
怀疑则产生了非欧几何。1826年，俄罗斯数学家罗巴契夫斯基 （1792～
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第69 页。
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1856）宣读了他的关于非欧几何的论文《简要叙述平行线定理的一个严
格证明》，这标志着几何学的新革命。非欧几何的发展不仅为相对论的
产生准备了条件，更为重要的是它所引入的新思想，从根本上更新了古
老的几何观念。这一结果是欧几里得无法预料的。
第1编在公设和公理之后，还给出了48个命题。这48个命题的内
容可以分为3类，第一类是从命题1到命题26，主要讨论了三角形和垂
直（垂线）问题，包括三角形的三个全等定理；第二类是从命题27到命
题32，主要讨论了平行线问�