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（2）埃及的数学知识
古代埃及的数学没有达到巴比伦数学那样的水平，这很可能是由于
巴比伦的经济发展速度较快，贸易更为活跃所致。
直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及之前，埃及文明一直按照
它自己的道路延续着。现存的埃及古代数学资料主要是产生于公元前
1700年左右的两批纸草书。一批保存在莫斯科，被称为“莫斯科纸草书”；
一批是 1858年英国人 HenryRhind发现的，保存在英国博物馆，称为
“Rhind纸草书”。前者包含有25个数学问题，后者包含有85个数学问
题。这些问题大概是埃及人早在公元前三千年前已经知道的典型问题和
典型解法的范例。从那时以后，埃及的数学知识和技巧很少有新的发展，
甚至可能还有所退步。
埃及僧侣文的整数写法如图6。2所示。由于书写方式是自右而左的，
所以｜｜｜nn表示23。
图6。2埃及僧侣文的整数记号
埃及的算术主要用迭加法，加减法就是用添上或划掉一些记号而得
出结果，乘除法也具有加法的特征。由于任何一个数都可以组成2的各
次幂的和，所以乘法和除法通常可用连续加倍的运算来完成。比如求11
乘13的积，其作法是：
1 11
2 22
4 44
8 88
由于13＝1＋4＋8，所以只要把与1、4、8对应的倍数加起来即可，即
11＋44＋88＝143。如果要将521除以23，则可连续地将23加倍并相加，
直到超过543为止，步骤如
1 23
2 46
4 92
8 184
… Page 68…
16 368
由于
521＝368＋153
＝368＋92＋61
＝368＋92＋46＋15
所以其商为16＋4＋2＝22，余数为15。
埃及数系中也有分数的记法，但比较复杂，他们是在整数顶上记上
计算时，把所有分数都拆成所谓“单位分数”（即分子为1的分数）再
2 1 1 2 1 1
取和求出。例如
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（3）古印度的数学知识
古代印度的数学成就，没有达到古巴比伦和埃及的高度，不过在受
到希腊数学的影响之前，也有他们自具特色的一些成就。
由于缺少可靠的记录，对公元前800年之前印度数学的发展，目前
知之甚少，只是从一些早期城市遗迹和灌溉工程可知，古印度人早已有
了书写、计算和度量衡体系，并且有了很基本的数学和工程知识。
公元前800年到公元前200年，是印度产生“绳法经”的年代。“绳
法经”是一类宗教经文，包含有修筑祭坛的法则。在这些宗教作品以及
一些钱币和铭文中，都包含着一些有关数学的内容。
在亚历山大大帝于公元前326年征服西北印度后，建立了莫尔雅帝
国，并很快扩展到全印度。莫尔雅最著名的统治者阿索库（公元前272
—前 232）在印度的每个重要城市立了大石柱，保存下了当时的数字符
号。这些符号后来不断发生变化，最典型的是如图6。3所示的Brahmi式
记号。这一组记号从1到9的每一个数都有一个特殊的符号，这是它的
优越之处；缺陷是没有零，也没有进位记法。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
30 40 50 60
图6。3古印度的数字记号
在公元前5或4世纪出现的一部“绳法经”里，在讲到拉绳设计祭
坛时，包含了一些古印度时期所知的几何法则。这些法则规定了祭坛的
形状和尺寸所应满足的条件，最常用的是正方形、圆形和半圆形三种形
状；但不管何种形状，祭坛的面积必须相等。他们掌握了怎样求等于两
个正方形之和或差的一个正方形，或等于一个给定矩形的正方形；他们
还能作出与正方形等面积的圆。或两倍于正方形面积的圆以便采用半圆
形的祭坛。他们实际上用到了下述解圆方问题的法则：
S
d＝（2十 2 ） ，
3
S＝13d/15。
其中d为圆的直径，S为面积相等的正方形的边。他们实际上是取π＝
3。09 。关于 2，“绳法经”给出了它的近似值：
1 1 1
2
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进数学，从而使数学由经验知识上升为理论知识，特别是初等几何，它
的演绎的理论形式被推崇为数学科学的典范，其影响一直持续到今。
（1）泰勒斯的工作
古希腊的第一位著名数学家是泰勒斯，他被认为是希腊几何学的始
祖。泰勒斯的几何学知识最初是跟埃及人学的。在埃及，由于尼罗河水
常常泛滥，也就需要经常重新丈量土地，所以几何学的一些知识最早是
埃及人发现的。据说，泰勒斯在埃及旅行时，曾巧妙地利用几何学知识
解决了一个难题。当时，埃及祭司们想测量金字塔的高度，但又找不到
测量的方法。泰勒斯则利用他学到的几何学知识解决了这一难题。他的
具体方法历史上有两种不同的说法。一种说法是，泰勒斯在阳光以45°
的角度照射金字塔时，根据金字塔阴影的长度求得了结果：金字塔高就
等于阴影的长度。这个传说似乎表明泰勒斯已具有等腰三角形的知识。
还有一种说法是，泰勒斯用一根已知长度的杆子，通过同时测量杆影和
金字塔影的长度，利用杆影长与塔影长的比等于杆高与塔高的比，算出
塔高。这种说法则表明泰勒斯已懂得比例的道理。但是，也有人提出疑
问，金字塔的底非常大，影长是从影子的顶点到金字塔底的中心，这个
影长是难以直接量的。后人提出，可能的办法是作两次观测。第一次观
测时记下杆影顶点在A处，塔影顶点在a处；第二次观测时记下杆影顶
点在B处，塔影顶点在b处。 AB与ab的比就等于杆高和塔高的比，从
①
而求出金字塔的高度 。总而言之，泰勒斯的成就超过了他的老师们。
埃及人的几何学知识还只是停留在经验的层次上，到泰勒斯，几何
学开始建立在一般原理的演绎基础上，后人把几条最早的几何定理归于
泰勒斯的发现，这成为他在几何学上的主要贡献。这几条定理是：
①圆的直径平分圆周；
②内接于半圆的角是直角；
③等腰三角形的两个底角相等；
④两条直线相交时，对顶角相等；
⑤两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，则这两个三角形
全等。
据载，泰勒斯曾应用两个三角形全等的定理，测定船舶离岸的远近。
他的求法是这样的：见图6。4，A是岸上一点，船在A的正前方P点。在
岸上作AP的垂线AB，找出AB的中点C。测量者沿垂直于AB的方向走，
直到在K点观测使K、C、P三点在一条直线上。可以知道三角形APC与
三角形BKC全等，从而AP等于BK；BK可以直接测量出，那么从岸上一
②
点A到船的距离就可以得到 。
图6。4泰勒斯测定船离岸的距离
至于泰勒斯是否对上述定理作过证明，现在还没有发现这方面的资
料。这些定理很可能是在大量观察的基础上，经过反复实践证明，成为
大家公认的事实。泰勒斯只不过予以抽象和总结。
① 参阅梁宗巨《世界数学史简编》，辽宁人民出版社1981 年版，第96 页。
② 参阅中外数学简史编写组《外国数学简史》，山东教育出版社1987 年版，第91 页。
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（2）毕达哥拉斯学派的数学研究
毕达哥拉斯学派认为宇宙的本原是数，可见他们对数的重视。在对
宇宙结构的研究中，他们还发现了其中的一些数学关系，这对他们试图
建立一种以数解释宇宙现象的哲学，无疑是一种鼓舞。因此，毕达哥拉
斯学派使数学的研究发生了重大的变化。在巴比伦和埃及，对数学的研
究基本上还是处于经验的阶段。而从毕达哥拉斯开始，产生了数的抽象
概念，进而由研究个别的抽象的数过渡到研究它们的一般规律。这种与
自然运算的一般性质有关的研究被称为算术的一个分支——理论算术。
毕达哥拉斯学派最早大概是用沙粒或石子来计算的，因为他�