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因此我们的逻辑分析使系统各部分的要求的形式和功能都一目了然，并且表明反对随机性公理和支持惟一性要求的理由是什么。同时可判定性问题似乎变得越来越重要。并且虽然我们不一定称我们的要求（或公理）“无意义”，看来我们被迫把它们描述为非经验的。但是概率陈述的这种描述——不管我们用什么话来表达它——是否同我们研究的主要思想相矛盾呢？
67．思辨形而上学的概率系统
概率陈述在物理学中最重要的用处是这样：某些物理学规律性或可观察的物理效应被解释为“宏观定律”；也就是说，它们被解释或说明为大数现象，或假说性的、不能直接观察的“微观事件”的可观察结果。宏观定律用下列方法从概率估计中演绎出来：我们证明，与所说的观察到的规律性一致的观察结果，应该期望其概率十分接近于1，即其概率与1的离差为一个能达到按我们选取的那样小的量。当我们已证明这一点时，那么我们就说，我们已经用我们的概率估计把所说的可观察效应“解释”为一个宏观效应。
但是如果我们以这种方法使用概率估计来“解释”可观察的规律性而不采取特定的预防措施，那么我们会马上陷入某些思辨，根据一般的用法，完全可以把它们描述为思辨形而上学的典型。
因为概率陈述是不可证伪的，以这种方法用概率估计“解释”我们喜欢的任何规律性必定总是可能的。以万有引力定律为例。我们可以下列方法设想出一些假说性的概率估计来“解释”这个定律。我们选择某类事件作为基本事件或原子事件；例如某一小粒子的运动。我们也选择某方面作为这些事件的主要性质；例如粒子运动的方向和速度。于是我们假定这些事件显现出似机遇的分布。最后我们计算出所有的粒子在某一有限的空间区域内，在某一有限的时期内——某一“宇宙期”——将以规定的精确性（附带地说，以万有引力定律要求的方式）运动的概率。计算出的概率当然将十分小；实际上小得微不足道，但是仍然不等于零。因此我们可以提出这样的问题：这个序列的某个n－节段得有多长，或换言之，整个过程必须假定有多长，我们才可期望这种宇宙期出现的概率接近1（或与1的离差不超过某一任意小的值E），在这宇宙期内，作为偶发事件积累的结果，我们的观察将会完全与万有引力定律一致。对于任我们选取的接近于1的任何值，我们获得一个确定的、虽然极端大的有限数。于是我们可以说：如果我们假定序列的节段有这十分大的长度——或换言之，“世界”延续得足够长——那么我们的随机性假定使我们能够期望出现一个方有引力定律似乎也适用的宇宙期，虽然“实际上”除了随机发散外什么也没有出现。借助某种随机性假定，这类“解释”可应用于我们选取的任何规律性。事实上，我们可用这个方式把我们整个世界，以及它的所有被观察到的规律性，“解释”成随机混沌中的一个阶段——纯粹偶然巧合的一种积累。
我认为很清楚，这类思辨是“形而上学的”，它们对科学没有任何意义。并且同样清楚的是：这个事实同它们的不可证伪性——我们能在任何时候和任何条件容许它们这个事实是有联系的。因此我的划界标准似乎同“形而上学的”一词的一般用法是完全一致的。
所以涉及概率的理论，如果它们不加特定预防措施而加以应用，就不应被认为是科学的。如果它们应在经验科学的实践中有用处，我们就必须排除它们的形而上学用法。
68．物理学中的概率
可判定性困难的问题只是方法论的，不是物理学的。如果要求提出一个实践上可应用的概率概念，物理学家也许会提供某种物理学的概率定义，其思路如下：有些实验，即使在受控条件下进行也得出不同的结果。在某些这类实验——“似机遇的”实验，例如用硬币做掷猜——的情况下，经常重复导致具有相对频率的结果，进一步重复，这些相对频率越来越逼近某个固定值，我们可称之为所说事件的概率。这个值是“……可用经验通过一长系列实验确定到任何逼近度”；顺便说，这说明为什么证伪一个假说性的概率估计是可能的。
数学家和逻辑学家会对根据这些思路下的定义提出异议，尤其是下列异议：
（1）这个定义与概率计算并不一致，因为根据Bernoulli定理，只有几乎所有非常长的节段才是统计学上稳定的，即其行为仿佛是收敛的。由于这个理由，概率不能用这稳定性，即用拟收敛行为来定义。因为“几乎所有”一词——它应该出现在定义中——本身只是“十分可几的”一个同义语。因此这定义是循环的；这个事实容易通过去掉“几乎”一词隐避起来（但不能取消）。这就是物理学家的定义所做的事；所以这是不能接受的。
（2）什么时候应说一系列实验是“长的”？不提供一个应称之为“长的”标准，我们不能知道我们何时，或是否已达到逼近这个概率。
（3）我们如何能知道所需要的逼近实际上已达到？
虽然我认为这些异议是合理的，然而我认为我们能够保留物理学家的定义。我将通过上节概述的论据来支持这种见解。这些论据表明当概率假说被允许无限应用时，它们就失去所有信息内容。物理学家决不会以这种方式使用它们。我将遵循物理学家的范例，不允许概率假说的无限应用：我建议我们作为方法论的决定决不把物理效应，即可复制的规律性，解释为偶发事件的累积。这个决定自然修改了概率概念：它使这个概念变窄了。因此异议（1）并不影响我的观点，因为我根本不主张概率的物理概念和数学概念是同一的；反之，我否认这种同一性。但是代替（1），出现了一个新的异议。
（1’）什么时候我们能谈到“累积的偶发事件”？大概在概率很小的情况下。但是什么时候一个概率“小”？我们可以承认的是，我刚提出的建议排除了使用通过改变数学问题的提法，从小概率中制造任意大概率的方法（前节已讨论）。但是为了执行所建议的决定，我们得知道我们应把什么看作是小的。
下面几页将表明所建议的方法论规则与物理学家的定义是一致的，问题（1’）、（2）和（3）提出的异议能借助它得到解答。开始，我脑子里只有一个典型的概率计算应用例子：我脑子里有一些可复制的宏观效应例子，这些效应能够借助精确的（宏观）定律——如气体压力——加以描述，并且我们把这些效应解释或说明为由于微观过程，如分子碰撞大量积累所致。其他典型例子（如统计涨落或似机遇的个别过程的统计）可没有很多困难地还原为这个例子。
让我以这种类型的宏观效应为例，该效应由一个得到很好确认的定律来描述，这个定律可还原为微观事件的随机序列。设这个定律断言在某种条件下某物理量为p值。我们假定效应是“精确的”，因此没有可测量的涨落发生，即与p的离差不超过间距±o（不精确性的间距；参阅第37节），在此间距内我们的测量由于现行测量技术固有的不精确性，无论如何会有涨落。现在我们提出假说：p是微观事件序列α内的概率；其次，n个微观事件促使产生效应。于是（参阅第61节）我们能够对每一个选取的δ值，计算出概率αnF（△P），即测定值将落在间距△P内的概率。补概率可用“E“来表示。因此我们有αnF（△）＝ε。根据Bernoulli定理，随n增加至无限，ε趋向零。
我们假定ε“小”到可以不计（在这个假定中有“小”是什么意思的问题（1’），马上就要讨论它）。显然，△p应解释为间距，测量在此间距内逼近p值。由此我们看到三个量：ε，n，和△p与三个问题（1’），（2）和（3）相应。△p或ε可任意选取，它限制了我们选取ε和n的任意性。由于我们的任务是演绎出确切的宏观效应p（±φ），我们不去假定δ大于φ。就可复制效应p而言，如果我们进行的演绎满足δ≤φ，它就是令人满意的。（这里φ是给定的，由于它是由测量技术来确定的。）现在让我们选取δ使它（近似地）等于φ。于是我们就将问题（3）还原为两个其他问题（1’）和（2）。
通过选取δ（即△P）我们已在n和ε之间确立了一种关系，因为对于每一个n，现在都有一个ε值惟一地与之相应。因此（2），即什么时候n有足够长这个问题已还原为（1’），即什么时候ε小这个问题（反之亦然）。
但是这意味着只要我们能够判定ε的哪一个特定的值可被认为“小到微不足道”而不计，所有三个问题都可得到回答。现在我们的方法论规则等于是决定忽略不计小的ε值；但是我们不准备老是去讨论某个确定的ε值。
如果我们把问题交给物理学家，即如果我们问他，他准备不计什么样的ε——0．001或是0．000001，或是……？他大概会回答E根本不使他感到兴趣；他选取的不是ε而是n；他已这样选取n，使n与△P之间的相关大大独立于我们愿意造成的ε值的任何变化。
由于Bernoulli分布的数学特点，物理学家的回答是有道理的：对每一个n，确定ε和△p之间的函数关系是可能的。对这个函数作一检查就可表明，对于一切（“大的”）n都存在一个表示特征的△p值，使得在这个值的邻域，完全不受ε的变化的影响。这种无影响性随n的增加而增加。如果我们取我们在极端大数现象情况下应该期望的一个�