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N．Kolmogorov）及随后阿诺德（Vladimir IgorevichArnold）、莫泽（Jurgen
Kurt Moser）的工作（所谓 KAM理论），人们终于理解了不可积性，这在庞加莱之后又花了60年的时间。不可积性不是玻恩所言自然界抵制知识进步的令人沮丧的表现，而是动力学的新起点。
KAM理论处理共振对轨道的影响。频率。通常依赖于动变量如坐标和动量的值，它们在相空间不同点的取值不同。其结果是，有些点由共振来刻画，而另一些点则不然。对于混沌来讲，这又将使其相空间达到特别复杂的程度。按照KAM理论，我们观察到两类轨道： “ 正经的 ” 确定性的轨道，以及与共振相关联的在相空间无规律地漫游的 “ 散漫的 ” 轨道。
这一理论另一个重要结果是，当我们增加能量值时，随机性占据的区域会随之扩大。对于某个临界能量值，会出现混沌：随着时间的推移，我们看到相邻轨道呈指数发散。而且，对于充分发展的混沌来说，由轨道产生的点云会导致扩散，但扩散与我们将来达到均匀性的方法相关联。它是一个产生熵的不可逆过程（见第 1节）。虽然我们从经典动力学出发，我们现在却观察到时间对称性的破缺。这如何可能，正是我们为了克服时间佯谬而必须解决的主要问题。
庞加莱共振在物理学中扮演着基本角色。光的发射或吸收是共振所致，因为它是使相互作用的粒子系统达到平衡的途径。相互作用的场也导致共振。事实上，很难在经典物理学或量子物理学中找到一个共振在其中没有扮演显著角色的重要问题。但是，我们如何克服与共振相关联的发散呢？对此已取得了一些重要进展。如在第 III节中，我们必须区分个体层次（轨道）和统计层次（由概率分布 ρ 描述的系综）。在个体层次上我们有发散，但这些发散在统计层次上可以得到解决（参见第五、第六章），共振在统计层次上产生与共鸣导致的伴声大致类似的事件耦合。其重要特点是，出现了与轨道描述不相容的、新的非牛顿项。这并不奇怪。共振不是局域事件，因为它们并非在给定地点或给定时刻发生。共振蕴涵着非局域描述，所以不能包含在与牛顿动力学相关联的轨道描述之中。我们将要看到，共振导致了扩散运动。当我们从相空间的一个点 P 0 出发，我们不再能肯定地预言经过一段时间。之后其新位置Pt。简言之，初始点
P 0 以明确的概率产生许多可能的点P 1 ，P 2 ，P 3 。
在图 1．7里，区域D中的每个点有一个在时刻。出现的非零概率或明确的转移概率。这种情况类似于 “ 无规行走 ” 或 “ 布朗运动 ” 的情形。在最简单的情况里，这一条件可以用粒子在一维点阵中的运动来说明，点阵以规则的时间间隔作一步转移（参见图 1．8）。
在每一步，质点往左去和往右去的概率均为 1／2。在每一步，未来都是不确定的。从一开始，就不可能谈到轨道。从数学上来讲，布朗运动由扩散型方程（称为福克尔…普朗克（Fokker－Planck）方程）描述。扩散是有时间方向的。如果我们从位于同一源的点云出发，随着时间的推移，这个点云将分散，一些粒子出现在远离源头的地方，另一些则出现在离源头较近的地方。令人瞩目的是，从经典动力学出发，共振精确地导出了扩散项，也就是说，共振甚至在经典力学框架中引入了不确定性，并打破了时间对称性。
对于可积系统而言，当这些扩散因素不存在时，我们就会回到轨道描述，但是总体上，动力学定律必须在概率分布层次上进行表述。因而，基本问题是：在什么情况下，我们可以预期成为可观察量的扩散项？当做到这一点时，概率变成自然的基本属性。这是有关确定牛顿动力学有效范围的问题（或有关我们下一节将要考虑的量子理论的有效范围问题），它不啻是一次观念上的革命。几个世纪以来，轨道被看作是经典物理学基本的、原始的客体。相反，我们现在则把轨道看作是共振系统的有效范围，在第五章我们将回到这个问题上来，在第六章针对量子力学讨论一个平行的问题。然而，此时我们先给出一些暂时的回答。对于瞬时相互作用（一束粒子与障碍物碰撞并逸出），扩散项可以被忽略；但对于持续相互作用（一束稳定的粒子流落在障碍物上），扩散项就起支配作用了。在计算机模拟时，如同在真实世界中一样，我们可以再现这两种情况，因而可以检验我们的预言。结果毫不含糊地表明，对持续相互作用出现扩散项，于是导致牛顿力学描述以及正统的量子力学描述的失败。在这两种情况下，与在确定性混沌中一样，我们都得到“不可约的”概率描述。
但还有另一个更值得注意的情况。宏观系统通常用热力学极限来定义，按照热力学极限，无论粒子数 N还是体积V都变大。我们将在第五章和第六章研究这一极限。在与这一极限相联系的现象的观测中，物质的新属性变得显而易见。
如果我们仅仅考虑少量粒子，就不能说它们是否形成液体或气体。物质的状态和相变最终由热力学极限所定义。相变的存在表明，当我们采取还原论者态度时必须谨慎行事。相变对应于突现属性。它们在单个粒子的层次上毫无意义，只有在群体层次才有意义。这种争论在某种程度上与基于庞加莱共振的争论类似。持续相互作用意味着我们不能将系统的一部分取出来孤立地加以考虑。正是在这种全局层次，在群体层次上，过去和未来之间的对称性被打破了，科学可以承认时间流。这解决了一个长期存在的难题。实际上，在宏观物理学中，不可逆性和概率是最明显不过的。
热力学适用于不可积系统。这意味着，我们不能用轨道来解决动力学难题，但我们能用概率解决它。因此，如同确定性混沌情形那样，经典力学的新统计表述导致数学框架的拓展。这在某种程度上不由得让我们回想起广义相对论。像爱因斯坦所表明的那样，为了包含引力，我们必须从欧几里得几何转向黎曼几何。在泛函分析中，所谓希尔伯特空间扮演着特殊的角色，它将欧几里得几何扩展到包含无穷维数“函数空间”的情形。传统上，量子力学和统计力学都应用了希尔伯特空间。为了得到对不稳定系统和热力学极限有效的新表述，我们必须从希尔伯特空间转向更普遍的泛函空间。这一观点将在第四到第六章中详加解释。
自本世纪初以来，我们已经习惯于在我们面对微观客体，如原子和基本粒子时，或者当我们处理天体物理维度时，产生经典力学有待扩展的想法。而不稳定性同样要求扩展经典力学则很出乎意料。我们现在将转入的量子力学情形十分类似。共振所致的不稳定性在改变量予理论的表述中同样扮演着一种基本角色。
IV
在量子力学中，我们碰到了一个很奇怪的情况。众所周知，这一理论在它的所有预言方面都取得了引人注目的成功。然而，量子力学的表述完成已有 60多年的历史，但有关其含义和范围的讨论依然热烈如初，这在科学史中是很独特的。尽管它取得了许多成功，很多物理学家仍有一种不安的感觉。费恩曼（Richard
Feynman）就一度认为无人真正 “ 理解 ” 量子理论。
这儿，基本量是波函数 Ψ ，它在某种程度上起轨道在经典力学中所起的作用。实际上，量子理论的基本方程（薛定谔方程）描述波函数的时间演化。它将给定初始时刻 t 0 的波函数 Ψ （t 0 ）转换为t时刻的波函数 Ψ （ t），这就如同在经典力学中，轨道从一个相点导出另一个相点。
和牛顿方程一样，薛定愕方程是确定性的，且是时间可逆的。再次如同在经典动力学中一样，在量子力学的动力学描述和与熵相关联的演化描述之间存在着一条鸿沟。波函数Ψ的物理解释是它对应着概率幅。这表明 ｜ Ψ ｜2＝ ΨΨ * （ Ψ 既有实部也有虚部， Ψ * 是 Ψ 的复共轭）是概率，我们再次用 ρ 来标记。还存在更普遍的概率形式，它对应于通过各种波函数的叠加而得到的系综。与从单个波函数得到的纯粹倩形相对，它们被称为混合情形。
量子理论的基本假设是：正如经典力学中的每一个动力学问题通常与轨道动力学相联系一样，每一个动力学问题可以在概率幅层次上加以解决。但奇怪的是，为了把明确定义的属性赋给物质，我们不得不超出概率幅，我们需要概率本身。为了理解这一困难，我们考虑一个简单的例子。假设能量可以取两个值 EI和EZ，相应的波函数为u 1 和u 2 。现在考虑线性叠加 Ψ ＝ c 1 u 1 ＋c 2 u 2 。这样，波函数在两个层次上 “ 参与 ” ，系统既不在层次 1也不在层次2，而是处于一种居间态。我们现在测量与 Ψ 相关的能量。按照量子力学，我们得到与概率幅的平方 ｜c 1 ｜ 2 和｜c 2 ｜ 2 给出的概率相联系的E 1 或E 2 。
我们最初从单个波函数Ψ开始，但却仍然以两个波函数 u 1 和u 2 的混合物结束。这通常称为波函数的 “ 归约 ” 或 “ 坍缩 ” 。我们必须从由波函数 Ψ 所描述的潜在性转向我们可以测量的实在性。在量子理论的传统语言中，我们是从纯粹状态（波函数）转向系综，即混合物。但这如何可能呢？如前所述，薛定谔方程将一个波函数变换为另一个波函数，而不是变换为系综，这一直被称为量子佯谬。有人认为，从潜在性向实在性的转变是我们的测量造成的。这是本章第 1节引述的温伯格的一段话以及相当多的教科书中所表达的观点。它是与经典力学中的时间佯谬提供的