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样，就有两种实际存在的能量被忽略掉：施载过程中的动能，及当物体在运动或
变形过程中通过阻力所转化或消散的热能。若将这两项能量计入，则分析各点应
力、应变的问题，便为动力所不定，这不仅对于拉杆之简例如此，对于具有静不 定多余杆件的繁复结构，更是如此。
在流体动力学中，试以最简单的一元流为例，在应用两守恒定律于水流两个
垂直横断面之间以定出水深与流速（亦即势能与动能）之前，必先给知下端断面
上的——即所谓整个流体的控制断面上的——水深与流速。这里所需的水位~ 流
率关系通常藉缺口或管口的经验公式或通过水文测验定出。虽然同样两个守恒定
律用于同样两个横断面，而不同的控制将会给出不同结果的水深与流速。
所以，在自然界里除了守恒定律之外，还存在着连续介体动力学的另一定律
尚待阐明。缺了它，就无法解答运动的问题。各守恒定律可归纳为连续介体动力
学的第一类定律，连续介体动力学的第二定律阐述如次。
凡属固体、液体、气体或其他临界物体连续介质独立系统的整体，以给定的
初始和边界条件，在外力作用下运动时，其所有质点将随时按整体机械能产生最
大的热能转化率，即消散率，形成其应力场和应变场，或者流速场、压力场和密 度场。
这一定律本身是一不待证明的公理，但也可从变分原理推导出来（见附录）。
它符合热力学第二定律：凡独立系统的熵总是趋向着一个最大值。这正象连续介
体动力学中能量守恒的定律之应用于热力学第一定律。下面将证明，这一定律的
推论在固体力学中是卡斯的格里诺最小功学说（Castigliano’s Theorem），在应用
水力学是培纶格 一 波丝最小特定能量学说（Belanger…Boss Theorem）。
第一类的诸定律指出自然界物体的质量和能量等在运动中守恒的规律。第二
定律则指出运动中用于阻力所造成的能量散发率或递减率一定随时成为最大的规
律，其间机械能之转为热能具有热力学的不可逆性。第二定律指明了自然界各种
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运动，不论在机械的、电磁的或化学的过程中能量发生变化的方向和数量。
严格地说，熵 S 和温度 T 可能受到外界环境对于系统、或由于物体内分解和
电离，额外地增减了热量所产生的影响。这里假设所有这些情况维持不变，或其 影响细微，可以忽略不计。
如前所述，在固体力学里，物体在荷载之下，当任何时刻 t，其总的能量变
率 P = dE 是由下列三部分组成的：储藏着的变形能量变率 dES ，动能变率 dE K ，
dt
和机械能转向热能的消散率
dEd 。
dt
dt dt
= ＋ ＋
P = dE dES dE K dEd
（1）
dt dt dt dt
通常我们忽略掉上式中最后两项，假设荷载所作之总的功（W=E）即等于储藏着
的变形能量 ES 。从动力学角度来看，运动中储藏着的能量为两部分所组成：势能
ES 和动能 EK 。第二定律指出，整个连续介体在运动中任何时刻由于阻力或变形所
消散为热能的变率总是最大：
dEd = 最大
dt
（2）
因此，在给定的荷载率或给定的 P = dE 下，储藏着的总能量变率必为最小：
dt
dES ＋ dE K = 最小
（3）
dt dt
假定荷载极慢地施加，使其动能变率近于零：
dE K = 0
dt
（4）
S =
dE dE dW
乃得 = = 最小
（5）
dt dt dt
通过对荷载全时段的积分，得
ES = E = W = 最小
（6）
这就是卡斯的格里诺最小功学说的表达式，广泛地应用于对静力不定的结构物的 应力分析。
13
上面的解说指出了卡斯的格里诺最小功学说的约略性和限制程度，亦以见连
续介体动力学第二定律在原理上的普通性。这个定律可能影响到开创动力弹性力
学的一个新的领域，人们或将从而觉察连续介体动力学并非一门已臻完善的学科。
关于固体力学这方面的论说将另有专文叙述，后面将专论述流体力学范畴内的第 二定律。
近代基于统计学理的分子学说业已相当发展，足为宏观的连续介体力学导向
一个新的领域。在另一方面，连续流体的概念提供了一个理论性模型，便于对物
理学某些部门作出数学分析。例如近年创始的为原子核所作的液体模型，核中包
括有粒子和中子。根据这些观点，作者认为第二定律的含义可以伸展如次。
在独立系统的物理中，在给定的初始与边界下，所有相互作用着的分子总是
这样地运动着，使整体总机械能转化为热能的能量变率随时产生着全系统的一个 最大的熵。
同样，在勃朗运动里，浸在液体中的宏观微粒，由于和液体分子相撞所造成
的内部热震变，总是表现着一种随机性的运动。由于这种运动明显的不规则性，
这一问题从来都是按现象的偶然性处理的。另方面，设想每一微粒的运动可能以
拉格朗奇坐标来表达，那么，最大总热能转化率的第二定律，原则上，对第一微
粒可以各按其片面的最大，提供一个偏微分方程。所有这些方程的联解可从现象
的必然性定出各微粒的运动向量。这样，对勃朗运动的随机分析，便能完全地概
括出两种对立的表达方式，组成了宇宙间基本辩证法则中一组对立的统一。
二、流体力学的第二定律
在流体力学里，无磁极液体在不可压缩情形下的质量和能量守恒定律（第一 类定律）是分别以拉泼拉斯连续方程
j
=？ （U
？X i
＋ u j
） = 0
（7）
和纳芙叶一司笃克斯运动方程
i
=？ （U
？t i
＋ u ） ＋ （U
＋ u j
）=？ （U
j
i
？X i
i
＋ u ）
14
1 2
？
= X i
？ ？
（P ＋ p） ＋ v （U
i
2 i
＋ u ）
？ ？X i
？X j
（i = 1；
2； 3）
（8）
描述的。式中 Ui ＋ui 或 Uj ＋uj 代表流速场的各卡氏坐标分速，其中平均流速场 Ui =Ui
（Xi ； t）为空间位置 Xi 和时程 t 的函数，紊流脉动 ui 为相同变数的三个随机函
数，其均值皆为零。同样，P＋p 为具有流体恒定密度 ？ 的压力场。Xi 为体积力场
的分加速度，v 为运动学粘度。全以标准卡氏坐标符号表示。 上列各式可以分成两部分。关于平均流的是
？U
= j = 0
？X j
（9）
？U i ＋ U
？U i = X
1 ？P ？ 2U ？
2
i j
？ ＋ v i ？ u u
i
和 ？t i
？X j
？ ？X i
？X j
？X j
（i = 1；
2； 3）
（10）
最后一项 —
ui u j
= ？ ij 代表由紊流脉动所兴起的、作用在平均流上的雷诺应力。
多了这项，就添了些未知数，致使平均运动的四个方程不足以定出四个未知数 P
和 Ui 。
紊流脉动的连续方程和动量方程是
？u
= j = 0
？X j
j
和 ？ui ＋ u
j
？ui ＋ u
？
？U i ＋ ？ui u j ？ui u j
（11）
？t ？X j
？X j
？X j
？X j
1 ？p
？ 2 u
= ？ ＋ v i
（ j = 1；
2； 3）
（12）
2
？ ？X j
？X j
15
由此可见，这一组数式是不定性的，任何紊流问题安全的数解超过了近代计
算机的能力，致使紊流的分析在很大程度上依靠试验。
更有进者，这些公式是应用在某一空间 Xi 和时程 t 的流体中极小的宏观体积
dX1 dX2 dX3 上的。当流动时，所有这样的小体积是在孤立系统整个流体中在给定
的初始和边界条件下相互约束的。若可能积分，则当积分之前，必先定出全系统
下端控制断面的流程位置 xC 及在明槽中从 xC 处水面高程 ybm 起始的水面线，或
管流中从 xC 处压力 PC 起始的沿程压力线。（以下有时用 x； y； z 来代表 Xi ）。下端
断面 xC 处不同的控制，亦即不同的槽底高程 ybc 或压力 PC ，虽然同样应用两个恒
定定律计算，会对上述产生不同结果的流速和压力。所以，诸守恒定律虽属必需，
但不仅由于公式联解之困难，且仍不足以完全地描述流体运动的现象。
在明槽流中，若槽底坡降向下游渐增，流到某一位置总会有一个控制断面，
那里的平均流速等于坡速，从此以下流态变为射流，各质点好象分散似地个别流
出。这个断面就是独立系统缓流整体的下端断面，其中各点的流速皆小于波速， 而压力则三向齐等。
兹将流体动力学第二定律，即最大能量消散率定律申说如次。
流体或参有固体的多种流体在一独立系统内，在给定初始或边界条件下流动
时，在任何时刻的密度、速度和压力总是这样地分布，使得系统整体的能量消散 率随时为一最大值。
能量消散率，亦即每单位质量当时程 t 机械能转化为热能的变率是＇1 ＇
？E ＋ ？？
？U
1
？？
v
= ？？ i
？
？
j
2
？U ？
＋ ？
？
？ ？u
？
j
＋ ？ i
j
2
？u ？ ？
＋ ？ ？
j
（13）
？t ？t
2 ？？ ？X j
？X i ？
？ ？X
？
？
i ？ ？
其紊流的整体均值则为
？
？E ？？
1 ？ ？U
2
？U ？
？
j
？ ？u
？
？X
2
？u ？
＋ = v？？ i ＋ i ？
＋ ？ i ＋ = j ？ ？
（14）
？
？t ？t
2 ？？ ？X
？？
？ i
？X i ？
？ ？X
？X ？ ？
？
？E ？？
式中 为由于 平均流速 梯 度、 为由于 紊动流速 梯 度每单位 质 量的能量 消 耗
？t ？t
率。前者较之后为量甚微，可以忽略不计，因此消散率可简单地表达如下：
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？？ 1 ？u
2
？ ？u ？
？X
？X
= v？ i ＋ = j ？
（15）
？
j
？t 2
？