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6对数目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。
在每一对数目里，2a2…b2都是1或者是－1。于是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一
步都越发地与之接近。例如，读者们将会满意地发见，99B70的平方是非常之接近于与2
相等的。
普洛克鲁斯描述过毕达哥拉斯——此人永远是个颇为蒙胧的人物——乃是第一个把
几何学当作一种学艺的人。许多权威学者，包括汤姆斯。希斯①爵士在内，都相信华达哥
拉斯或许曾发见过那个以他的名字命名的定理；那个定理是说在一个直角三角形中，弦
的平方等于两夹边的平方之和。无论如何，这个定理是在很早的时期就被毕达哥拉斯派
所知道了的。他们也知道三角形的内角之和等于两个直角。
除了2的平方根之外，其他的无理数在特殊的例子里也曾被与苏格拉底同时代的狄奥
多罗斯研究过，并且曾以更为普遍的方式被与柏拉图大致同时而稍早的泰阿泰德研究过。
德谟克里特写过一片关于无理数的论文，但是文章的内容我们已不大知道了。柏拉图对
这个题目是深感兴趣的；他在以“；泰阿泰德”命名的那篇对话里提过了狄奥多罗斯和
泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他说过一般人对这个题目的愚昧无知是很不光彩的，
并且还暗示着他自己之开始知道它也是很晚的事情。它当然对于毕达哥拉斯派的哲学有
着重要的关系。
发见了无理数的最重要的后果之一就是攸多克索（约当公元前408…355年）之发明关
于比例的几何理论。在他以前，只有关于比例的算数理论。按照这种理论，如果a乘d等
于b乘c，则a比b就等于c比d。这种界说，在还没有有关无理数的几何理论时，就只能应
用于有理数。然而攸多克索提出了一个不受这种限制的新界说，其构造的方式暗示了近
代的分析方法。这一理论在欧几里德的书里得到了发展，并具有极大的逻辑美。
攸多克索还发明了或者是完成了“穷尽法”，它后来被阿几米德运用得非常成功。
这种方法是对积分学的一种预见。譬如，我们可以举圆的面积问题为例。你可以内接于
一个圆而作出一个正六边形，或一个正十二边形，或者一个正一千边或一百万边的多边
形。这样一个多边形，无论它有多少边，其面积是与圆的直径的平方成比例的。这个多
边形的边越多，则它也就越接近于与圆相等。你可以证明，只要你能使这一多边形有足
够多的边，就可以使它的面积与圆面积之差小于任何预先指定的面积，无论这一预先指
定的面积是多么地小。为了这个目的，就引用了“阿几米德公理”。这一公理（多少加
以简化之后）是说：假设有两个数量，把较大的一个平分为两半，把一半再平分为两半，
如此继续下去，则最后就会得到一个数量要小于原来的两个数量中较小的那一个。换句
话说，如果a大于b，则必有某一个整数n可以使2n乘b大于a。
穷尽法有时候可以得出精确的结果，例如阿几米德所做的求抛物线形的面积；有时
候则只能得出不断的近似，例如当我们试图求圆的面积的时候。求圆的面积的问题也就
是决定圆周与直径的比率问题，这个比率叫作pi；。阿几米德在计算中使用了22/7的近
似值，他做了内接的与外切的正96边形，从而证明了pi；小于3又1/7并大于3又10/71。
这种方法可以继续进行到任何所需要的近似程度，并且这就是任何方法在这个问题上所
能尽的一切能事了。使用内接的与外切多边形以求pi；的近似值，应该上溯到苏格拉底
同时代的人安提丰。
欧几里德——当我年青的时候，它还是唯一被公认的学童几何学教科书——约当公
元前300年，即当亚历山大和亚里士多德死后不久的几年，生活于亚历山大港。他的《几
何原本》绝大部分并不是他的创见，但是命题的次序与逻辑的结构则绝大部分是他的。
一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞叹。他用有名的品行定理以处理
品行线的办法，具有着双重的优点；演绎既是有力的，而又并不隐饰原始假设的可疑性。
比例的理论是继承攸多克索的，其运用的方法本质上类似于魏尔斯特拉斯所介绍给十九
世纪的分析数学的方法，于是就避免了有关无理数的种种困难。然后欧几里德就过渡到
一种几何代数学，并在第十卷中探讨了无理数这个题目。在这以后他就接着讨论立体几
何，并以求作正多面体的问题而告结束，这个问题是被泰阿泰德所完成的并曾在柏拉图
的《蒂迈欧篇》里被提到过。
欧几里德的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完
美的纪念碑之一。当然他也具有典型的希腊局限性：他的方法纯粹是演绎的，并且其中
也没有任何可以验证基本假设的方法。这些假设被他认为是毫无问题的，但是到了十九
世纪，非欧几何学便指明了它们有些部分是可。以0错误的，并且只有凭观察才能决定它
们是不是错误。
欧几里德几何学是鄙视实用价值的，这一点早就被柏拉图所谆谆教诲过。据说有一
个学生听了一段证明之后便问，学几何学能够有什么好处，于是欧几里德就叫进来一个
奴隶说：“去拿三分钱给这个青年，因为他一定要从他所学的东西里得到好处。”然而
鄙视实用却实用主义地被证明了是有道理的。在希腊时代没有一个人会想象到圆锥曲线
是有任何用处的；最后到了十七世纪伽利略才发现抛射体是沿着抛物线而运动的，而开
普勒则发现行星是以椭圆而运动的。于是，希腊人由于纯粹爱好理论所做的工作，就一
下子变成了解决战术学与天文学的一把钥匙了。
罗马人的头脑太过于实际而不能欣赏欧几里德；第一个提到欧几里德的罗马人是西
赛罗，在他那时候欧几里德或许还没有拉丁文的译本；并且在鲍依修斯（约当公元480年）
以前，确乎是并没有任何关于拉丁文译本的记。载。。阿拉伯人却更能欣赏欧几里德；大
约在公元760年，拜占庭皇帝曾送给过回教哈里发一部欧几里德；大约在公元800年，当
哈伦。阿尔。拉西德在位的时候，欧几里德就有了阿拉伯文的译文了。现在最早的拉丁文
译本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年从阿拉伯文译过来的。从这时以后，对几何学的研
究就逐渐在西方复活起来；但是一直要到文艺复兴的晚期才做出了重要的进步。
我现在就要谈天文学，希腊人在这方面的成就正象在几何学方面是一样地引人注目。
在希腊之前，巴比伦人和埃及人许多世纪以来的观察已经奠定了一个基础。他们记录下
来了行星的视动，但是他们并不知道晨星和昏星就是一个。巴比伦无疑地，而且埃及也
可能，已经发现了蚀的周期，这就使人能相当可靠地预言月蚀，但是并不能预言日蚀；
因为日蚀在同一个地点并不是总可以看得见的。把一个直角分为九十度，把一度分为六
十分，我们也是得之于巴比伦人的；巴比伦人喜欢六十这个数目，甚至于还有一种以六
十进位的计数体系。希腊人总是喜欢把他们的先穉e人物的智慧都归功于是游历了埃及的
结果，但是在希腊人以前，人们所成就的东西实在是很少的。然而泰勒斯的预言月蚀，
却是受了外来影响的一个例子；我们没有理由设想他在从埃及和巴比伦那里所学到的东
西之外又增加了什么新东西，并且他的预言得以证实，也完全是幸运的偶合。
让我们先看希腊人最早的一些发现与正确的假说。阿那克西曼德认为大地是浮荡着
的，并没有任何东西在支持它。亚里士多德总是反对当时各种最好的假说的，所以他就
反驳阿那克西曼德的理论，亦即大地位于中心永远不动，因为它并没有理由朝着一个方
向运动而不朝另一个方向运动。亚里士多德说，如果这种说法有效，那么一个人若是站
在圆心，纵令在圆周的各点上都摆满了食品的话，他也会饿死的，因为并没有理由要选
择哪一部分食品而不选择另一部分食品。这个论证重行出现于经院哲学里，但不是与天
文学联系在一片，而是与自由意志联系在一片的。它以“布理当的驴”的形式而重行出
现，布理当的驴因为不能在左右两边距离相等的两堆草之间做出选择，所以就饿死了。
毕达哥拉斯有极大的可能是第一个认为地是球形的人，但是他的理由（我们必须设
想）却是审美的而非科学的。然而，科学的理由不久就被发现了。阿那克萨哥拉发现了
月亮是由于反光而发光的，并且对月蚀做出了正确的理论。他本人仍然认为地是平的，
但是月蚀时地影的形状却使得毕达哥拉斯派有了拥护地是球形的最后定论性的论据。他
们更进一步把地球看成是行星之一。他们知道了——据说是从毕达哥拉斯本人那里知道
的——晨星和昏星就是同一个星，并且他们认为所有的星包括地球在内都沿着圆形而运
动，但不是环绕着太阳而是环绕着“中心的火”。他们已经发现了月亮总是以同一面对
着地球的，并且他们以为地球也总是以同一面对着“中心的火”。地中海区域位于与�