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于是，美国革命很快地便会蔓延到欧洲；而且假如存在着有一个民族，那里对美国人的事业的兴趣比起其他地方要对他们那些著作和他们那些原则传播得更多，它同时既是最启蒙了的国度，又是最不自由的国度；在那里哲学家们有着最真实的知识而政府则有着最蛮横而又最深厚的愚昧无知；这个民族的法律远远低于公众的精神，以致于任何的民族骄做感、任何的偏见都无法使他们依附于他们古代的体制；——这样的一个民族难道不是被事物的本性注定了要发起人道之友们满怀着无比的希望与焦的在期待着的那场革命的最初行动吗？因而，它就应该是从法国开始。
它那政府的笨拙便促成了这场革命；哲学便指导了革命的原则，而人民的力量便摧毁了可能阻止这场运动的种种障碍。
法国革命要比美国革命更为完整，从而在国内也就更不平静，因为美国人满足于他们从英国所接收过来的民法和刑法，并没有一种邪恶的课税体系要改革，并没有封建的暴政、世袭的等级和有钱有势的特权团体和宗教不宽容的体制要加以摧毁，他们只把自己限于建立新的权力，以之取代英国一直在向他们所行使的权力。这些新的创制之中，没有任何东西涉及到人民群众，没有任何东西改变了个人之间所已经形成的种种关系。在法国，由于相反的原因，革命却要囊括社会的全部经济在内，要改变所有的社会关系，并且要深入到政治链索的最后的环节里去，要深入到每一个个人；这些个人靠自己的财产或自己的勤劳在和平地生活着，他们无论根据自己的见解或自己的职业或是根据对财富、对野心或对光荣的兴趣，都是不会参与公众的运动的。
美国人看来只是为反抗母国暴政的偏见面作战，他们和与英国相竞争的列强结成同盟；而同时其他国家嫉妒英国的财富和英国的骄傲，也都秘密渴望着加速正义的胜利；因而，整个欧洲似乎都联合起来反对压迫者。相反地，法国人同时在攻击的，既是国王的专制主义，又是各种半自由的宪法的政治不平等，还有贵族们的骄横和教士们的统治、不宽容和财富以及封建性的弊端，这些还都笼罩着几乎整个的欧洲；于是欧洲列强就要偏袒暴政而与之联盟了。因此，法国所能看到挺身出来拥护她的，就只有某些智者的声音和被压迫的各族人民的羞怯的愿望，这种支持又是造谣诽谤所极力要剥夺于她的。
我们将要表明，法国的宪法和法律所据以结合的那些原则，何以要比指导美国人的那些原则更纯洁、更确切、更深刻；它们何以能更完全地避免了各种偏见的影响；权利的平等是怎样地一点都没有被那种利益的一致性所取代，而利益的一致性只不过是对它一种脆弱而伪善的补充而已；人们是怎样地以对权力的限制来取代了那种徒劳的、但却如此长期为人所称道的权力平衡；在必然要分裂成许许多多孤立的和局部的团体的一个大国里，人们是怎样地第一次敢于保存人民的主权权利，亦即仅仅服从那些法律——其制订的方式只有当其被委托给人民的代表时，才能由于他们的直接赞同而成为合法的——的权利；而如果它们损害了他们的权利和他们的利益的话，人民就总是可以通过自己主权意志的定期行动而加以修改。
自从笛卡尔的天才赋予了人类精神以那种普遍的推动力（它是人类命运的革命的第一原理）的时刻开始，下迄完整的而纯粹的社会自由的幸福时代（那时人们只是在经过了一系列漫长世纪的奴役与不幸之后，才能重新获得自己天赋的独立）为止，数理科学的进步史表向我们提供了一片广阔无垠的视野；如果我们想要很好地把握其总体、很好地观察其关系，我们就必须安排并理顺其间的各个部分。
不仅是把代数学应用于几何学，成为了这两门科学中各种新发现的一项丰富的资源；而且在以这一伟大的例子证明了对量值的计算方法一般地怎样可以扩大到所有以衡量广袤性为目标的问题上面时，笛卡尔预先就宣告了这些计算方法将会以同样的成功运用到其关系是可以精确加以衡量的一切对象上；这一伟大的发现第一次指明了，科学的最终目标是要使一切真理都服从于计算的精确性，这种精确性给了人们以达到那里的希望，并使人们窥见了它那手段。
这一发现不久就继之以对一种新演算的发现，它教导人们去发现一个可变量连续增长或减小的比例，或者是根据对这一比例的知识来重新发现该数量本身，——无论我们假设这类增长是一个有限量，抑或我们所寻求的只是当这类增长等于零的那一瞬间的比例；——这一方法当扩大到所有的变量组合、所有的有关它们变分的假说时，就同等地导致我们可以决定一切其变化是可以进行精确衡量的事物，无论是它们元素之间的比例，还是事物之间的比例（当我们仅只知道它们的元素的比例的时候，这要视我们对它们自身之间的比例的知识而定）。
我们有赖于牛顿和莱布尼兹的就是这些演算的发明，而其发现则是前一代的几何学家们的劳动所已经准备好了的。它们一个多世纪以来从未中断的进步，乃是许多天才人物的创作，并且造就了他们的光荣。这些演算在凡是能观察到它们（哪怕并不追随它们）的哲学家的眼前，就呈现为人类理解力的力量的一座动人的纪念碑。
在阐明代数学语言的构成与原理——它是目前仍然存在的唯一真正精确的、真正分析性的语言，和这门科学的技术方法的性质并以这种方法与人类理解的自然运算方法的进行比较时，我们将要表明：如果说这种方法其本身只不过是对数量科学的一种特殊工具的话，那么它就还包含有一种普遍工具的原理是对一切的观念组合都适用的。
理论力学，不久就成为了一门博大精深的科学。笛卡尔曾经弄错了的物体碰撞的真正规律，终于被弄明白了。
惠更斯发现了物体在圆运动中的规律；他同时还给出了测定任何一条曲线的每一成分都应该属于哪种圆的方法。牛顿结合这两种理论，就发现了曲线运动的理论；他把它们引用于开普勒曾据以发现行星运动的椭圆轨道的那些定律。
人们设想，一个行星是在一个给定的时刻以某种速度并沿着一定的方向被投入空间的，它环绕着太阳，凭借一种向着太阳的引力的作用并与距离的平方的倒数成比例，而在扫描一个椭圆。这同一个引力也把卫星保持在它们环绕着主要行星的轨道上。引力扩大到整个的天体体系，它在构成天体体系的一切成分中都是在相互作用着的。
行星椭圆的规则性受到这种干扰，而微积分就精确地解释了这些扰动的甚至最细微的差别。引力作用于彗星，这同一个理论也教导人们怎样确定替星的轨道并预告彗星的回归。我们在地球和月球的旋转轴中所观察到的运动，也证实了这一普遍的引力的存在。最后，它又是大地上物体重量的原因，重量在它们身上看来是永远不变的，因为我们无法从物体与作用中心的距离有足够不同的位置来观察它们。
于是，人们就终于第一次认识到了全宇宙的一条物理定律；而迄今为止它仍然是独一无二的，正有如揭示出它来的那个人的光荣乃是独一无二的一样。
一百年的辛勤工作已经证实了那条定律，一切天体现象看来都以一种可以说是奇迹般的准确性在服从它；每一次有其中的某个现象仿佛是规避了它；那种暂时的不确定性很快地就成为另一项新的胜利的题材。
哲学几乎总是被迫要在一个天才人物的工作中寻求引导着他的那条秘密的线索；然而在这里，被敬慕所激起的兴趣却使人发现了并保存了某些珍贵的故事，它们使人可以一步步地追踪牛顿的进程。它们有助于向我们表明，偶然性的幸运组合是怎样地能与天才的努力相汇合而得出伟大的发现，以及较为不利的组合又是怎样地能推迟它们或者把它们留待给旁人之手。
但是或许牛顿对人类精神的进步所做的事，要比发现了自然界的那条普遍的定律还更多；他教给了人们在物理学中要仅只承认那些精确计算的理论，它们不仅说明了一种现象的存在，而且还说明了它的数值、它的范围。然而有人责难他复活了古代人的神秘宗派的性质，因为他使自己限于把天体现象的普遍原因包括在一项简单的事实之中，而人们对它的观察又证明了它那无可争辩的真实性。但这种责难的本身就证明了，科学的方法是怎样地仍然需要由哲学来加以阐明。
当达朗贝尔发现了一条普遍的原理，仅仅用它就足以确定被任意的外力所推动的、并且其间又被某些条件所联系着的任何数目的质点的运动；这时候一长串静力学和动力学的问题就相继地被提了出来并被解决了。他很快就把这同一个原理引用到具有确定形态的有限物体上来，引用到那些弹性的或柔性的物体上来（这些物体可以改变它们的形态，但只能是按照某些一定的规律，并可以保持着它们各部分之间的某些一定的关系），最后还引用到流体本身上来（无论流体保持着同样的密度，还是处于一种膨胀的状态之中）。要解决后面的这类问题，就必须有一种新的算法；而这一点并未能逃脱过他的天才，于是力学就只不过是一门纯粹计算的科学而已。
这些发现属于数学科学；但是无论是万有引力定律的性质、还是力学原理的性质以及我们从中可能得出的有关宇宙的永恒秩序的结论，都是要诉诸哲学的。我们懂得了一切物体都要服从必然的规律，这些规律本身倾向于产生或者维持平衡，并在运动中造成或者保持规则性。