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1？pOdds1＋Odds 2？pOdds2＋… ＋Odds n…1？pOddsn…1＋Odds
n？pOddsn－pOdds…1
（4？1？1） 假设赌客所下的赌注为1个单位，那么，赔率的数学期望E（ξ）就是单位赌注的收益，称为期望收益率。之所以前面加了个限定词“期望”，是因为这里的收益率是个预期值，赌博收益率的实际值将围绕着它上下波动，而且赌博的时间越长，波动的幅度就越小。
不难看出，期望收益率其实就是赔率值以概率为权的加权平均，它不仅和赔率值有关，还和赔率值的概率分布也有关。赔率值是由赌规确定的，而赔率值的概率分布主要也是由赌规确定的，因此，赌规规定的其实是收益率。当然，赌博策略有时也会影响到收益率。
数学期望是随机事件的常用数字特征之一。收益率正是赌博中随机变量赔率的数学期望，是赌博理论中一个十分基本而又重要的概念。在赌场里，赌客不断地投注，不断地产生输输赢赢，所有投注的总和就是投注总量，显然，投注总量可看成是一笔投资，所有输输赢赢的总和，就是这笔投资的收益。因此：
赌客的实际收益率＝赌客的收益／赌客的投注总量
随着赌客不断地投注，投注次数不断地增加，实际收益率将以概率的方式接近于期望收益率。
已知赌客的期望收益率，那么他在赌场赌博的预期收益是多少呢？
赌客的预期收益＝赌客的期望收益率×赌客的投注总量
用Icm表示收益，Ttl表示投注总量，上式可写为 Icm＝E（ξ）？Ttl （4？1？2） 其中，投注总量是赌客所有投注的总和，与其中某一注是输了还是赢了无关，因此，投注总量始终是一个大于或等于0的数字，其最小值为0，这就是从不下注不赌这种情形。
由于在具体的上下文中很容易区分期望收益率和实际收益率，为叙述方便以后我们对二者不加区分，都称为收益率。在多数时候，都是指期望收益率。 显然，预期收益的符号是由收益率的符号唯一确定的，而预期收益实际上就是赌博胜负的数字表示，长期赌博最终能否取胜就直接取决于其收益率，收益率为正数预期收益就大于0，能胜，收益率为负数预期收益就小于0，不能胜。在收益率为正数的情况下，预期收益只有最小值没有最大值或者说最大值为无穷大；在收益率为负数的情况下，预期收益在投注总量等于0即从来不赌时取得最大值0，其最小值为负无穷大，它的含义是，任何人，随便他有多少钱，只要坚持不懈地赌下去，迟早有一天会输掉这笔钱，因此可以得出结论，赌客在收益率为负数时，不赌就是赢。
不仅有赌戏的收益率，对于有中间过程的赌戏，还有游戏进行过程中的收益率。如二十一点，在未发牌之前，存在一个赌客的收益率；在荷官给每人发完两张牌，而赌客尚未作出决策之前，也存在一个相应牌点的收益率；之后赌客每采取一个决策，也存在着一个相应牌点在该策略下的收益率。又如拉号子，在未发牌之前，存在一个赌客的收益率；牌发完之后，又有一个该情形下赌客的收益率；如果可以买牌，还有一个买牌的收益率。由于在具体的上下文中很容易区分它们，本书也不对各种具体情况下的收益率作进一步的细分，而通称为收益率。
赌场老板把钱投进赌博业开赌场，他的投资的收益率是和赌场里各种赌戏的收益率直接相关的。赌场和赌客的冲突在于他们之间的收益率冲突，一个正多少，另一个就必然负多少，没有任何调和的余地。显然可以得出结论：
赌场的期望收益率＝－赌客的期望收益率
很多人都知道赌场是靠“抽水”来维持发达的，但究竟什么是“抽水”在他们头脑里却是模糊不清的，因此才有了把百家乐中押庄赢时荷官按本金赔付之外再扣除的5％当成是抽水的笑话，其实，赌场的收益率才是人们通常所说的“抽水”。
同样可以得到：
赌场的预期收益＝赌场的收益率？投注总量 （4？1？3）
这里的投注总量是所有赌客投注的总和，而且同样也和其中某一注是输了还是赢了无关。由公式（4？1？3）可以看出，赌场的收益和两个因素有关，即收益率和投注总量。
赌场的收益率是一个综合考虑了多钟因素的产物。收益率为0的赌规才是公平的，赌场如果把收益率定得太高，不公平太过明显，就很难吸引到赌客；相反，如果把收益率取得太小，赌场的利润又保证不了。如果我们把赌的过程记录下来，建立一个坐标图，横向为投注总量，纵向为赌客的收益，绘出的将是一条振荡下行的曲线，震荡向上的部分，就是赌客在局部赢钱，震荡向下的部分，就是赌客在局部输钱，曲线的总斜率就是收益率。如果把收益率的绝对值取得太大，曲线振荡的幅度和次数就会很小，这意味着赌客赢钱的数量和次数很少，在赌的过程中赢钱的时刻也同样减少，让人觉得赌场很可怕，把人都吓跑了哪来的回头客；赌规一般规定了一个看起来微不足道的收益率，这不仅使得凭感觉很难区分输赢在次数上有多大差别，而且能让赌客时常地会赢钱，即使在输的时候，也许在赌博过程的某一时刻还赢了钱，正因为如此，使不少人以为只要控制把握好自己，每次赢一点，见好就收，就可以在赌场赢钱，曲线的走向明确地表示了，这其实是不可能根本行不通的。赌戏不同收益率也不同。赌场里赌戏的收益率取从0。5％直到16％跨度很大的值，其中，投注频度高的收益率就小，如二十一点，投一次注快的只要10来秒钟，在正确的策略下赌场的收益率仅为0。5％左右，在有的地方甚至是一个接近于0的数字；投注频度低的收益率就高，如百家乐中的“和”，由于“和”出现的概率极低，投在“和”上的赌注就比投在“庄”与“闲”上的要少得多，因此赌场在“和”的收益率高达14％左右。
投注总量直接和赌戏的重复频率有关，因此，我们看到所有赌戏的重复频率都很高，另外赌场一般都二十四小时营业，这也是为了增大投注总量。
二 正收益率原则
用公式（4？1？3）可以解释所有具有博彩性质的游戏。彩票是日常生活中所遇到的最不公平的博彩游戏了。拿100块钱买彩票，平均它能为我们挣30块钱，买彩票的赢率只有30％；它也可能让我们陪70块钱，平均净赔40块钱，买彩票的收益率为－40％。换一种说法，拿100块钱买彩票，在兑奖后，平均能剩下60块钱，这就是我们常听到的返奖率，彩票的返奖率大致在60％左右。
为了说明60％的返奖率是多么的不公平，举一个大家都很熟悉的例子，到银行存100块钱，不管存了多长时间，我们取到的总是一个大于100的数字，用彩票术语来说，银行存款的返奖率是一个大于100％的数字，如果在银行存了100块钱，过一段时间只能取到60块，相信就没有谁会往银行存钱了。现实生活中有没有谁开设这样的银行呢？有，整个博彩业就是这样的一种银行体系，只是是通过间接的方式来实现的。
彩票业是一种最典型的利用人的贪欲和愚昧赚钱的活动，彩票的关键在于要调动人的贪欲，调动起人的贪欲越高，则人的行为越不理性越错误。因此，我们看到彩票头奖的赔率值往往高达几百万倍，彩民们往往只看到了这个诱人的赔率值，而对这个几百万倍发生的概率不甚了了，而且这个概率必须通过某种难度的计算才能得到，这通常是一个几千万分之一甚至可能更小的数字，以至中头奖对于绝大多数彩民来说可能都终生无缘，卖彩票的广告只会告诉人们第一个数字——赔率值，是不会把这第二个数字——赔率值的概率说出来的，更不会告诉你买彩票的收益率。
由于彩票的奖要很多天才开一次，彩票公司不能不把收益率定得很高，因此彩票公司都用返奖率来掩盖这个负得很厉害的收益率，或者干脆直接用返奖的具体数字来代替，这时的蒙蔽性就更大。彩票公司用极为个别的几百万倍的赔率值，或换一种说法的百万富翁千万富翁梦想来掩盖这个负得很厉害的收益率。赔率值或大奖是表象，收益率才是本质，如果彩民知道彩票投资的收益率为－40％，相信彩民的数量会大大减少。
彩票公司经常以超级大奖来大作广告，提醒人们不要错过发大财的机会，在调动起人的贪欲的同时，还明显地提高了发行量，但是，头彩奖额的数字虽然比较大，但羊毛总是出在羊身上，是成千上万的彩民造就了中头彩的彩民，和彩票公司无关，这种于己有利无害的事情，彩票公司当然愿意去做了。
买彩票的钱尽管不多，却也是一种投资，这笔投资的收益率为－40％，是一个远小于0的负数。如果把所有的彩民看作是一个整体，无疑每次开彩都是彩民亏本；同样也可以单独考察某一位彩民，只要他以愚公坚持不懈的精神买彩票，就算是中了头彩，大数定律告诉我们，最终亏本是肯定的。
所以，理论上应该没什么人买彩票，彩票业应该根本不存在才对，但现实中彩票业却实实在在地在世界各国存在着。对此，有人解释说，买彩票，每个人都知道输多赢少，但还是愿意去买，原因就在于有暴发的机会。难道在理性和贪欲的较量中，贪欲反倒要占上风？其实，仅仅知道输多赢少这还不是真正的理性，真正的理性是全面反映了所有的头奖、大奖和尾奖及其概率的收益率。正如人人都知道吸烟有害健康，每个香烟盒上都这样写着，但烟民并没有因此减少，在理性和习惯的较量中，又是习惯占上风，其实，多数人只知道吸烟有害健康这几个字，对它的